Una empresa de drones necesita saber cuánta superficie cubre una parcela cuyo borde no es un rectángulo, sino dos curvas que se cruzan. Y otra, la huella de una antena de radiación con forma de pétalo, se describe mejor con un radio que depende del ángulo. En ambos casos el área es una integral; la clave está en elegir bien la variable y en saber cuándo hay que partir el cálculo en trozos.
Área bajo una curva y entre dos curvas
Si $f\ge 0$ en $[a,b]$, la integral $\int_a^b f$ mide el área bajo la gráfica. Si $f$ cambia de signo, la integral es con signo: las partes bajo el eje restan. El área geométrica, siempre positiva, exige integrar $|f|$.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula el área limitada por $y=x$, el eje horizontal y las rectas $x=0$, $x=2$.
Calcula el área limitada por $y=x$, el eje horizontal y las rectas $x=0$, $x=2$.
Si la curva superior cambia dentro del intervalo, una única resta $\int (f-g)$ compensa áreas positivas con negativas y da un valor equivocado. Hay que localizar los cruces y sumar tramo a tramo.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula el área geométrica entre $y=x-1$ y el eje horizontal para $0\le x\le3$. Compárala con la integral con signo.
Calcula el área geométrica entre $y=x-1$ y el eje horizontal para $0\le x\le3$. Compárala con la integral con signo.
Calcula el área entre $y=x^3$ y $y=x$ en $[-1,1]$, identificando dónde cambia la curva superior. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula el área entre $y=x^3$ y $y=x$ en $[-1,1]$, identificando dónde cambia la curva superior.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
A veces la región se describe mejor como «curva derecha menos curva izquierda» en franjas horizontales. Entonces $A=\int_c^d \big(x_{\text{der}}(y)-x_{\text{izq}}(y)\big)\,dy$.
Regiones no acotadas
Si la región se extiende hasta $+\infty$, el área es una integral impropia y puede ser finita.
Practica★★☆Sin empezar
Calcula el área encerrada por $x=y^2$ y $x=2-y$ integrando respecto de $y$.
Calcula el área encerrada por $x=y^2$ y $x=2-y$ integrando respecto de $y$.
En polares, un punto se da por $(r,\theta)$. En lugar de franjas rectangulares, la región se barre con sectores circulares: el área de un sector de radio $r$ y ángulo $\Delta\theta$ es $\tfrac12 r^2\Delta\theta$.
Practica★☆☆Sin empezar
Una región polar tiene radio $0\le r\le2$ y ángulo $0\le\theta\le\pi/3$. Usa $A=\frac12\int r(\theta)^2\,d\theta$ para hallar su área.
Una región polar tiene radio $0\le r\le2$ y ángulo $0\le\theta\le\pi/3$. Usa $A=\frac12\int r(\theta)^2\,d\theta$ para hallar su área.
Calcula el área encerrada por la cardioide $r=1+\cos\theta$, $0\le\theta\le2\pi$, usando la fórmula polar. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula el área encerrada por la cardioide $r=1+\cos\theta$, $0\le\theta\le2\pi$, usando la fórmula polar.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Para una intersección de dos regiones $r\le r_1$ y $r\le r_2$ se toma en cada ángulo el menor radio, lo que obliga a partir en el ángulo donde se cortan.
Practica★★★Sin empezar
Calcula el área común a los círculos descritos en polares por $r\le2\cos\theta$ y $r\le2\sin\theta$ en el primer cuadrante. Determina dónde cambia la frontera radial. La…
Calcula el área común a los círculos descritos en polares por $r\le2\cos\theta$ y $r\le2\sin\theta$ en el primer cuadrante. Determina dónde cambia la frontera radial.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Se define la región polar $0\le r\le\sqrt{\cos(2\theta)}$ para $-\pi/4\le\theta\le\pi/4$. Calcula su área y explica por qué no puedes prolongar esta misma descripción…
Se define la región polar $0\le r\le\sqrt{\cos(2\theta)}$ para $-\pi/4\le\theta\le\pi/4$. Calcula su área y explica por qué no puedes prolongar esta misma descripción real a todo $[0,2\pi]$.
Cuando la región depende de un parámetro, el área es una función de él. Y si se pide dividirla en partes iguales, se obtiene una ecuación para el parámetro.
Practica★★☆Sin empezar
Determina el área entre $y=\ln x$ y el eje horizontal desde $x=1/2$ hasta $x=2$.
Determina el área entre $y=\ln x$ y el eje horizontal desde $x=1/2$ hasta $x=2$.