Teoremas de Rolle y del valor medio
Un coche recorre 12 km en 6 minutos por un tramo con radar de tramo. El radar no ha visto ningún instante concreto, solo la media: 120 km/h. ¿Puede asegurarse que en algún momento el velocímetro marcó exactamente 120 km/h? Los teoremas de este apartado dicen que sí, y de esa idea sencilla salen desigualdades, conteo de raíces y la identificación de funciones.
Teorema de Rolle
La intuición: si sales de casa, vuelves al mismo punto y tu posición es suave, en algún instante te has parado (cambiaste de sentido). Gráficamente, la gráfica tiene una tangente horizontal.
Aplica Rolle a $f(x)=x^2-4x+3$ en $[1,3]$ y encuentra todos los puntos que garantiza. La figura muestra la secante que une los extremos del intervalo.
Aplica Rolle a $f(x)=x^2-4x+3$ en $[1,3]$ y encuentra todos los puntos que garantiza.
La figura muestra la secante que une los extremos del intervalo.
Explica por qué Rolle no se aplica a $f(x)=|x|$ en $[-1,1]$, aunque coincidan los valores extremos.
Explica por qué Rolle no se aplica a $f(x)=|x|$ en $[-1,1]$, aunque coincidan los valores extremos.
Teorema del valor medio de Lagrange
Si quitamos la condición $f(a)=f(b)$, inclinamos la figura: la tangente ya no es horizontal, pero sigue habiendo un punto con tangente paralela a la secante.
Vuelve al principio: la velocidad media del tramo es $f'(c)$ para algún instante $c$. Si es $120$ km/h, en algún momento el velocímetro marcó exactamente eso.
Aplica el teorema del valor medio a $f(x)=\sqrt x$ en $[1,4]$. La figura muestra la secante entre los extremos.
Aplica el teorema del valor medio a $f(x)=\sqrt x$ en $[1,4]$.
La figura muestra la secante entre los extremos.
Si $f$ es derivable en $[0,5]$, $f(0)=2$ y $|f'(x)|\le3$, acota $f(5)$.
Si $f$ es derivable en $[0,5]$, $f(0)=2$ y $|f'(x)|\le3$, acota $f(5)$.
Un móvil tiene posición derivable y recorre de $s(0)=0$ m a $s(4)=12$ m. ¿Qué valor de velocidad debe alcanzar? ¿Puede afirmarse que su aceleración se anula? Justifica.…
Un móvil tiene posición derivable y recorre de $s(0)=0$ m a $s(4)=12$ m. ¿Qué valor de velocidad debe alcanzar? ¿Puede afirmarse que su aceleración se anula? Justifica.
La figura recoge únicamente los dos datos de posición conocidos.
Desigualdades con el valor medio
El teorema convierte información sobre $f'$ en información sobre incrementos de $f$: $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ con $c$ desconocido pero localizado. Si sabes acotar $f'$ en el intervalo, acotas la diferencia.
Demuestra mediante el valor medio que $|\sen b-\sen a|\le|b-a|$ para todos $a,b\in\mathbb R$.
Demuestra mediante el valor medio que $|\sen b-\sen a|\le|b-a|$ para todos $a,b\in\mathbb R$.
Para $x>0$, demuestra $x/(1+x)<\ln(1+x)<x$ usando valor medio.
Para $x>0$, demuestra $x/(1+x)<\ln(1+x)
Raíces y funciones con la misma derivada
Prueba que la ecuación $x^3+x-1=0$ tiene exactamente una solución real y localízala en un intervalo de longitud $1$.
Prueba que la ecuación $x^3+x-1=0$ tiene exactamente una solución real y localízala en un intervalo de longitud $1$.
Prueba que si $f'=g'$ en un intervalo y $f(a)=g(a)$ en un punto del intervalo, entonces $f=g$ en todo él. Explica por qué hace falta un intervalo.
Prueba que si $f'=g'$ en un intervalo y $f(a)=g(a)$ en un punto del intervalo, entonces $f=g$ en todo él. Explica por qué hace falta un intervalo.
Una función $f$ es continua en $[a,b]$, dos veces derivable en $(a,b)$ y tiene tres ceros distintos. Demuestra que $f''$ tiene al menos un cero en $(a,b)$.
Una función $f$ es continua en $[a,b]$, dos veces derivable en $(a,b)$ y tiene tres ceros distintos. Demuestra que $f''$ tiene al menos un cero en $(a,b)$.
Teorema de Cauchy y problemas más finos
Usa el teorema de Cauchy para $f(x)=\ln x$, $g(x)=x^2$ en $[1,2]$ y encuentra el punto $c$ que proporciona.
Usa el teorema de Cauchy para $f(x)=\ln x$, $g(x)=x^2$ en $[1,2]$ y encuentra el punto $c$ que proporciona.
Demuestra que $e^x=1+x+x^2/2$ tiene como única solución real $x=0$, sin usar series.
Demuestra que $e^x=1+x+x^2/2$ tiene como única solución real $x=0$, sin usar series.
Sea $f\in C^2([0,1])$ con $f(0)=f(1)=0$ y $|f''|\le2$. Demuestra $|f(x)|\le x(1-x)$ usando convexidad o Rolle generalizado.
Sea $f\in C^2([0,1])$ con $f(0)=f(1)=0$ y $|f''|\le2$. Demuestra $|f(x)|\le x(1-x)$ usando convexidad o Rolle generalizado.
Si $f\in C^1([0,1])$, $f(0)=0$, $f(1)=1$ y $\int_0^1 f(x)\,dx=1/2$, ¿es forzoso que $f'(c)=1$ en al menos dos puntos distintos? Demuestra la respuesta.
Si $f\in C^1([0,1])$, $f(0)=0$, $f(1)=1$ y $\int_0^1 f(x)\,dx=1/2$, ¿es forzoso que $f'(c)=1$ en al menos dos puntos distintos? Demuestra la respuesta.