Teorema fundamental y funciones integrales
Un depósito se llena con un caudal $f(t)$ que cambia con el tiempo. Si $F(x)$ es el volumen acumulado hasta el instante $x$, ¿a qué ritmo crece $F$ justo en ese instante? Y si no existe una fórmula elemental para $F$, ¿puedes saber igualmente cuándo crece, cuándo se frena y cuánto vale entre dos instantes? El teorema fundamental del cálculo responde a todo esto: acumular y derivar son operaciones inversas.
La función integral
Piensa en $F(x)$ como el área con signo acumulada bajo $f$ desde $a$ hasta $x$. Al mover $x$, el área crece si $f>0$ y decrece si $f<0$.
Sea $F(x)=\int_0^x(t-1)\,dt$. Encuentra $F(0)$, $F'(1)$ y el mínimo global de $F$. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Sea $F(x)=\int_0^x(t-1)\,dt$. Encuentra $F(0)$, $F'(1)$ y el mínimo global de $F$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Sea $F(x)=\int_0^x\lvert t\rvert\,dt$. Determina $F$, $F'$ y si $F''(0)$ existe.
Sea $F(x)=\int_0^x\lvert t\rvert\,dt$. Determina $F$, $F'$ y si $F''(0)$ existe.
Primer teorema fundamental: derivar una integral
El resultado es notable: $\int_0^x\cos(t^2)\,dt$ no tiene primitiva elemental, y aun así sabes su derivada exacta, $\cos(x^2)$.
Sea $F(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt$. Calcula $F'(x)$ sin buscar una primitiva elemental.
Sea $F(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt$. Calcula $F'(x)$ sin buscar una primitiva elemental.
Calcula $G'(x)$ para $G(x)=\int_1^{x^2}\ln(1+t^2)\,dt$.
Calcula $G'(x)$ para $G(x)=\int_1^{x^2}\ln(1+t^2)\,dt$.
Para $F(x)=\int_{x}^{2x}\sqrt{1+t^2}\,dt$, calcula $F'(x)$ y $F'(0)$.
Para $F(x)=\int_{x}^{2x}\sqrt{1+t^2}\,dt$, calcula $F'(x)$ y $F'(0)$.
Segundo teorema fundamental: evaluar con primitivas
La integral definida es un número (área con signo); una primitiva es una familia de funciones. La constante $C$ desaparece en la resta.
Evalúa $\int_0^2(3x^2-2x)\,dx$ y distingue el valor de la integral de la variación de una primitiva.
Evalúa $\int_0^2(3x^2-2x)\,dx$ y distingue el valor de la integral de la variación de una primitiva.
Calcula $\int_0^1 2x/(1+x^2)\,dx$ y expresa el resultado como variación de una función conocida.
Calcula $\int_0^1 2x/(1+x^2)\,dx$ y expresa el resultado como variación de una función conocida.
Estudiar funciones integrales sin primitiva
Como $F'=f$ (TFC1), el comportamiento de $F$ se lee en el de $f$: el signo de $f$ da la monotonía de $F$, y el de $f'$ (si existe), su convexidad.
Sea $H(x)=\int_x^3e^{-t^2}\,dt$. Calcula $H'(x)$ y determina si $H$ es creciente o decreciente.
Sea $H(x)=\int_x^3e^{-t^2}\,dt$. Calcula $H'(x)$ y determina si $H$ es creciente o decreciente.
Estudia crecimiento y extremos de $F(x)=\int_0^x(t^2-1)\,dt$.
Estudia crecimiento y extremos de $F(x)=\int_0^x(t^2-1)\,dt$.
Sea $F(x)=\int_1^x\ln t\,dt$, con $x>0$. Estudia crecimiento y convexidad sin evaluar primero la integral.
Sea $F(x)=\int_1^x\ln t\,dt$, con $x>0$. Estudia crecimiento y convexidad sin evaluar primero la integral.
Sea $F(x)=\int_0^x(t^3-3t)\,dt$. Determina todos sus puntos de inflexión y los intervalos de convexidad, justificando el cambio de signo. La figura ilustra los datos y…
Sea $F(x)=\int_0^x(t^3-3t)\,dt$. Determina todos sus puntos de inflexión y los intervalos de convexidad, justificando el cambio de signo.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Límites, desigualdades y valor medio con TFC
Calcula $\lim_{h\to0}\frac1h\int_2^{2+h}\sqrt{1+t^2}\,dt$ y justifica el caso $h<0$.
Calcula $\lim_{h\to0}\frac1h\int_2^{2+h}\sqrt{1+t^2}\,dt$ y justifica el caso $h<0$.
Determina $\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sin(t^2)\,dt}{x^3}$ mediante TFC y una regla de límites que justifiques.
Determina $\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sin(t^2)\,dt}{x^3}$ mediante TFC y una regla de límites que justifiques.
Sean $f,g$ continuas en $[0,1]$ con $g>0$. Demuestra que existe $c\in[0,1]$ tal que $\int_0^1fg=f(c)\int_0^1g$. Aplica a $f(x)=x$, $g(x)=1+x$ y encuentra $c$.
Sean $f,g$ continuas en $[0,1]$ con $g>0$. Demuestra que existe $c\in[0,1]$ tal que $\int_0^1fg=f(c)\int_0^1g$. Aplica a $f(x)=x$, $g(x)=1+x$ y encuentra $c$.
Demostraciones y casos delicados
Muchas veces no se pide calcular, sino justificar propiedades de $F$ a partir de $f$.
Define $f(t)=0$ para $t<1$ y $f(t)=2$ para $t\ge1$, y $F(x)=\int_0^xf(t)\,dt$. Estudia continuidad y derivabilidad de $F$ en $1$. La figura ilustra los datos y…
Define $f(t)=0$ para $t<1$ y $f(t)=2$ para $t\ge1$, y $F(x)=\int_0^xf(t)\,dt$. Estudia continuidad y derivabilidad de $F$ en $1$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula $\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x}e^{t^2}\,dt$ y determina dónde se anula esa derivada.
Calcula $\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x}e^{t^2}\,dt$ y determina dónde se anula esa derivada.
Demuestra que $F(x)=\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ es estrictamente creciente y que $F(1)<1$, sin calcular una primitiva.
Demuestra que $F(x)=\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ es estrictamente creciente y que $F(1)<1$, sin calcular una primitiva.
Vuelve al principio: el ritmo al que crece el volumen acumulado $F(x)=\int_a^x f$ en el instante $x$ es exactamente el caudal $f(x)$ (TFC1), y el volumen entre dos instantes es la variación de una primitiva (TFC2).