Series positivas y criterios de convergencia
Sumas infinitamente muchos términos cada vez más pequeños. ¿Sale un número finito o la suma crece sin límite? Con $\sum 1/n^2$ la suma se queda en torno a $1{,}64$, pero $\sum 1/n$ acaba superando cualquier cifra, aunque sus términos también tienden a cero. En este apartado aprendes a decidirlo sin calcular la suma, y a acotar el error cuando la aproximas.
Series y la condición necesaria
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}n/(n+1)$. ¿Qué condición necesaria decide el resultado?
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}n/(n+1)$. ¿Qué condición necesaria decide el resultado?
Series de referencia: geométrica y serie $p$
La gráfica sugiere por qué: la serie compara con el área bajo $1/x^p$ en $[1,\infty)$, que es finita justo cuando $p>1$. Eso lo formalizaremos con el criterio integral.
Decide si converge $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{3/2}$ e identifica el criterio empleado.
Decide si converge $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{3/2}$ e identifica el criterio empleado.
Decide la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}3^n/5^n$ y calcula su suma.
Decide la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}3^n/5^n$ y calcula su suma.
Criterios de comparación
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}1/(n^2+4)$ por comparación directa.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}1/(n^2+4)$ por comparación directa.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}1/\sqrt{n^2+1}$ mediante comparación por límite.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}1/\sqrt{n^2+1}$ mediante comparación por límite.
Determina para qué $p\in\mathbb R$ converge $\sum_{n=1}^{\infty}n/(1+n^p)$.
Determina para qué $p\in\mathbb R$ converge $\sum_{n=1}^{\infty}n/(1+n^p)$.
Criterio integral y cotas del error
Estudia $\sum_{n=2}^{\infty}1/(n\ln n)$ usando el criterio integral y verifica sus hipótesis. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Estudia $\sum_{n=2}^{\infty}1/(n\ln n)$ usando el criterio integral y verifica sus hipótesis.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
La energía del armónico $n$ de un modelo es $E_n=E_0/n^2$, con $E_0>0$. Sin usar la suma exacta, acota la energía total no contabilizada tras los primeros $N$ armónicos…
La energía del armónico $n$ de un modelo es $E_n=E_0/n^2$, con $E_0>0$. Sin usar la suma exacta, acota la energía total no contabilizada tras los primeros $N$ armónicos mediante integrales.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Se aproxima $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-3}$ mediante los primeros $N$ términos. Obtén una cota integral del error y el menor $N$ que esa cota garantiza para error menor que…
Se aproxima $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-3}$ mediante los primeros $N$ términos. Obtén una cota integral del error y el menor $N$ que esa cota garantiza para error menor que $10^{-5}$.
Criterios del cociente y de la raíz
Aplica el criterio del cociente a $\sum_{n=1}^{\infty}n!/4^n$.
Aplica el criterio del cociente a $\sum_{n=1}^{\infty}n!/4^n$.
Para $\sum_{n=1}^{\infty}n^2/2^n$, aplica el criterio del cociente e interpreta el límite.
Para $\sum_{n=1}^{\infty}n^2/2^n$, aplica el criterio del cociente e interpreta el límite.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(n/(2n+1))^n$ con el criterio de la raíz.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(n/(2n+1))^n$ con el criterio de la raíz.
Cómo elegir el criterio y casos delicados
Ante una serie positiva, sigue este orden: (1) ¿$a_n\to0$? Si no, diverge. (2) ¿Hay factoriales, exponenciales o potencias $n$-ésimas? Cociente o raíz. (3) ¿Es una expresión racional o con raíces en $n$? Comparación por límite con $1/n^p$. (4) ¿Aparecen logaritmos o es una $f(x)$ fácil de integrar? Criterio integral.
Explica por qué el criterio del cociente es inconcluyente tanto para $\sum1/n$ como para $\sum1/n^2$, y determina su carácter por otro criterio.
Explica por qué el criterio del cociente es inconcluyente tanto para $\sum1/n$ como para $\sum1/n^2$, y determina su carácter por otro criterio.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n^2+1}-n)$.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n^2+1}-n)$.
Determina para qué $p>0$ converge $\sum_{n=1}^{\infty}[1-\cos(1/n^p)]$.
Determina para qué $p>0$ converge $\sum_{n=1}^{\infty}[1-\cos(1/n^p)]$.
Vuelve al principio: $\sum1/n^2$ converge (serie $p$ con $p=2>1$, o integral) y $\sum1/n$ diverge, porque lo que decide no es que $a_n\to0$, sino lo deprisa que lo hace.