Sumas de Riemann y propiedades
Un sensor registra la potencia que consume un motor cada segundo y quieres saber la energía total consumida en un minuto. Si la potencia fuera constante bastaría multiplicar, pero varía. Aproximas el área bajo la curva con rectángulos y te preguntas: ¿qué ocurre al afinar la aproximación hasta el límite? ¿Siempre converge a un número? Esta idea es la integral de Riemann.
Particiones y sumas inferior y superior
Para medir el área bajo $f\ge 0$ en $[a,b]$ cortas el intervalo en trozos y sustituyes la función, en cada trozo, por una altura constante. Si tomas siempre la altura mínima, te quedas corto; si tomas la máxima, te pasas. El área verdadera, si existe, queda atrapada entre ambas.
Para $f(x)=2-x$ en $[0,2]$, calcula las sumas inferior y superior con la partición $0,1,2$. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Para $f(x)=2-x$ en $[0,2]$, calcula las sumas inferior y superior con la partición $0,1,2$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Para $f(x)=x^2$ en $[0,2]$ y $n$ subintervalos iguales, calcula la diferencia entre suma superior e inferior y úsala para justificar la integrabilidad.
Para $f(x)=x^2$ en $[0,2]$ y $n$ subintervalos iguales, calcula la diferencia entre suma superior e inferior y úsala para justificar la integrabilidad.
Sumas de Riemann y su límite
Calcular ínfimos y supremos es incómodo. Basta elegir en cada trozo un punto cualquiera y evaluar ahí: si la función es integrable, la elección no importa en el límite.
Escribe las sumas de Riemann por extremos derechos de $f(x)=x$ en $[0,1]$ para $n$ subintervalos iguales y calcula su límite.
Escribe las sumas de Riemann por extremos derechos de $f(x)=x$ en $[0,1]$ para $n$ subintervalos iguales y calcula su límite.
Obtén $\int_0^1x^2\,dx$ como límite de sumas, usando $\sum_{k=1}^n k^2=n(n+1)(2n+1)/6$.
Obtén $\int_0^1x^2\,dx$ como límite de sumas, usando $\sum_{k=1}^n k^2=n(n+1)(2n+1)/6$.
Reconocer una suma como integral
Muchos límites de sumas con $\frac1n$ delante no se pueden calcular directamente, pero son sumas de Riemann disfrazadas.
Determina $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sqrt{1+k/n}$ e identifica el intervalo y la función de la suma. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Determina $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sqrt{1+k/n}$ e identifica el intervalo y la función de la suma.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Para $f$ continua en $[0,1]$, demuestra que $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^nf((k-1/2)/n)=\int_0^1f$. Aplica a $f(x)=1/(1+x^2)$.
Para $f$ continua en $[0,1]$, demuestra que $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^nf((k-1/2)/n)=\int_0^1f$. Aplica a $f(x)=1/(1+x^2)$.
Funciones integrables y no integrables
La función $f$ vale $1$ en $[0,1)$ y $3$ en $[1,2]$. Calcula su integral de Riemann y explica si cambiar solamente $f(1)$ la altera. La figura ilustra los datos y…
La función $f$ vale $1$ en $[0,1)$ y $3$ en $[1,2]$. Calcula su integral de Riemann y explica si cambiar solamente $f(1)$ la altera.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
La función de Dirichlet vale $1$ en los racionales de $[0,1]$ y $0$ en los irracionales. Demuestra que no es integrable de Riemann, usando sumas inferior y superior.
La función de Dirichlet vale $1$ en los racionales de $[0,1]$ y $0$ en los irracionales. Demuestra que no es integrable de Riemann, usando sumas inferior y superior.
Propiedades de la integral
Se sabe que $\int_0^2f=3$ y $\int_2^5f=-1$. Calcula $\int_5^0f$ y $\int_0^5(2f(x)+1)\,dx$.
Se sabe que $\int_0^2f=3$ y $\int_2^5f=-1$. Calcula $\int_5^0f$ y $\int_0^5(2f(x)+1)\,dx$.
Sin calcular primitivas, acota $\int_0^1e^{-x^2}\,dx$ mediante los valores mínimo y máximo de la función. Mejora la cota inferior usando $e^{-u}\ge1-u$.
Sin calcular primitivas, acota $\int_0^1e^{-x^2}\,dx$ mediante los valores mínimo y máximo de la función. Mejora la cota inferior usando $e^{-u}\ge1-u$.
Sea $f$ continua en $[a,b]$. Demuestra $\lvert\int_a^bf\rvert\le\int_a^b\lvert f\rvert$ y caracteriza cuándo hay igualdad.
Sea $f$ continua en $[a,b]$. Demuestra $\lvert\int_a^bf\rvert\le\int_a^b\lvert f\rvert$ y caracteriza cuándo hay igualdad.
Vuelve al principio: la energía es la integral de la potencia. Para toda potencia continua las sumas de Riemann convergen siempre al mismo valor y ese número es el área; sumar lecturas muy frecuentes aproxima la energía tanto mejor cuanto menor sea el intervalo entre medidas.