Universidad · Cálculo I
Cálculo integral · Primitivas
Integración por partes
De la regla del producto a la fórmula Cómo elegir $u$ y $dv$ Aplicarla varias veces Integrales cíclicas Integral definida y recurrencias Resumen
Sabes integrar $\int x\,dx$ y $\int e^x\,dx$, pero ¿qué haces con $\int x e^x\,dx$? Ninguna regla inmediata ni cambio de variable sencillo la resuelve. La integración por partes es la regla del producto de derivadas leída al revés, y convierte una integral difícil en otra más sencilla.
Cómo elegir $u$ y $dv$
Criterio práctico: toma como $u$ la función que se simplifica al derivar y como $dv$ la que sabes integrar. Una regla mnemotécnica es el orden ILATE : Inversas trigonométricas, Logaritmos, Algebraicas (polinomios), Trigonométricas, Exponenciales. Se elige como $u$ la que aparece antes.
Activa JavaScript para usar este interactivo. La gráfica muestra $f(x)=xe^x$ y su primitiva $(x-1)e^x$: donde $f$ cambia de signo, la primitiva cambia de monotonía.
Inversas trigonométricas > Logaritmos > Algebraicas > Trigonométricas > Exponenciales. Es una guía, no una ley: sirve en la mayoría de casos, pero comprueba que $\int v\,du$ resulta más simple.
No parece un producto, pero lo es: $\ln x\cdot 1$. Tomamos $u=\ln x$ y $dv=dx$, con $du=\frac1x\,dx$ y $v=x$.
$\int\ln x\,dx = x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx = x\ln x-\int 1\,dx$.
Concluye y verifica derivando: $x\ln x-x+C$ tiene derivada $\ln x+1-1=\ln x$.
Siguiente paso (1/3) ★☆☆ Sin empezar
Calcula $\int \ln x\,dx$ en $x>0$ y comprueba la respuesta derivando. Calcula $\int \ln x\,dx$ en $x>0$ y comprueba la respuesta derivando.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Calcula $\int\arctan x\,dx$ en toda la recta. Calcula $\int\arctan x\,dx$ en toda la recta.
Resolver
★★★ Sin empezar
Calcula $\int x\arctan x\,dx$ y verifica el resultado por derivación. La figura ilustra los datos y relaciones del problema. Calcula $\int x\arctan x\,dx$ y verifica el resultado por derivación.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
x
y
−2
−1
0
1
2
1
2
y = x arctan(x)
Resolver
Aplicarla varias veces
Si $u$ es un polinomio de grado $n$, cada integración por partes baja el grado en una unidad: harán falta $n$ pasos. Para $\int x^2e^x\,dx$ son dos.
Cadena de integraciones por partes en la que el grado del polinomio baja de dos a uno y a cero.
∫ x² eˣ dx
∫ x eˣ dx
∫ eˣ dx
cada paso baja el grado en 1
Primer paso: $u=x^2$, $dv=e^x dx$, así $\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\int xe^x\,dx$.
Segundo paso: ya conoces $\int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C$.
Sustituye y simplifica: $x^2e^x-2(x-1)e^x+C=(x^2-2x+2)e^x+C$.
Siguiente paso (1/3)
En la segunda integral queda un signo menos delante y un factor $2$. Pon paréntesis antes de sustituir el resultado, o perderás el signo de los términos interiores.
$u=(\ln x)^2$, $dv=dx$: $du=\frac{2\ln x}{x}dx$, $v=x$.
$\int(\ln x)^2dx=x(\ln x)^2-2\int\ln x\,dx$, y sabemos $\int\ln x\,dx=x\ln x-x$.
Resultado: $x(\ln x)^2-2x\ln x+2x+C$.
Siguiente paso (1/3) ★★☆ Sin empezar
Calcula $\int x^2e^x\,dx$ y explica cuántas integraciones por partes necesitas. Calcula $\int x^2e^x\,dx$ y explica cuántas integraciones por partes necesitas.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Obtén $\int(\ln x)^2\,dx$ para $x>0$. Obtén $\int(\ln x)^2\,dx$ para $x>0$.
Resolver
Integrales cíclicas
A veces, tras dos pasos, reaparece la integral de partida. No es un fracaso: se trata como una ecuación con incógnita $I$.
Primera vez: $u=\cos x$, $dv=e^xdx$. Entonces $I=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx$.
Segunda vez (mismo criterio: $u=\sin x$, $dv=e^xdx$): $\int e^x\sin x\,dx=e^x\sin x-I$.
Sustituyes: $I=e^x\cos x+e^x\sin x-I$, luego $2I=e^x(\cos x+\sin x)$.
Despeja $I$ y añade la constante.
Siguiente paso (1/4) Resultado: $I=\dfrac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C$.
Para $a^2+b^2>0$: $$\int e^{ax}\sin(bx)\,dx=\frac{e^{ax}\big(a\sin(bx)-b\cos(bx)\big)}{a^2+b^2}+C.$$
Si $a=0$ da $-\frac{\cos(bx)}{b}$, y si $b=0$ da $0+C$ (integrando $e^{ax}\cdot 0$), coherente con $\sin 0=0$.
Activa JavaScript para usar este interactivo.
Si en el primer paso tomas $u=\cos x$ y en el segundo cambias a $dv=\sin x\,dx$ (deshaces la derivación), vuelves a la integral original con signo $+$ y obtienes $I=I$: una identidad inútil. En ambos pasos $u$ es la trigonométrica y $dv$ la exponencial.
★★☆ Sin empezar
Calcula $\int e^x\cos x\,dx$ mediante dos integraciones por partes y una ecuación para la integral buscada. Calcula $\int e^x\cos x\,dx$ mediante dos integraciones por partes y una ecuación para la integral buscada.
Resolver
★★★ Sin empezar
Calcula $\int e^{ax}\sin(bx)\,dx$ para $a,b\in\mathbb{R}$ con $a^2+b^2>0$. Explica por qué tu fórmula incluye los casos $a=0$ o $b=0$. Calcula $\int e^{ax}\sin(bx)\,dx$ para $a,b\in\mathbb{R}$ con $a^2+b^2>0$. Explica por qué tu fórmula incluye los casos $a=0$ o $b=0$.
Resolver
Integral definida y recurrencias
En una integral definida, el término $uv$ se evalúa entre los límites. Es el caso del cálculo de un trabajo: si $F(x)=xe^{-x}$ N, el trabajo de $0$ a $1$ m es $W=\int_0^1xe^{-x}dx$.
Área bajo la curva y = x por seno de x entre cero y pi medios, región positiva sombreada.
π/2
x sen x ≥ 0
$u=x$, $dv=\sin x\,dx$, $du=dx$, $v=-\cos x$.
$\big[-x\cos x\big]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=0+\big[\sin x\big]_0^{\pi/2}$.
Evalúa y comprueba el signo: el resultado es $1>0$, coherente con $x\sin x\ge0$ en $[0,\pi/2]$.
Siguiente paso (1/3)
Si $f\in C^1$: $\displaystyle\int_a^b xf'(x)\,dx=bf(b)-af(a)-\int_a^b f(x)\,dx$.
¿Por qué? Tomando $u=x$, $dv=f'(x)dx$, se tiene $du=dx$, $v=f(x)$ y se aplica la fórmula definida.
Recurrencias
Cuando el exponente varía, la integración por partes da una fórmula que enlaza $I_n$ con $I_{n-1}$. Para $I_n=\int_0^1x^ne^xdx$, con $u=x^n$:
$$I_n=\Big[x^ne^x\Big]_0^1-nI_{n-1}=e-nI_{n-1},\quad n\ge1,\qquad I_0=e-1.$$
Así $I_1=1$, $I_2=e-2$, $I_3=e-3(e-2)=6-2e$.
★☆☆ Sin empezar
Una fuerza tiene valor $F(x)=xe^{-x}\ \text{N}$ cuando $x$ se mide en metros. Calcula el trabajo al pasar de $x=0$ a $x=1$. La figura ilustra los datos y relaciones del… Una fuerza tiene valor $F(x)=xe^{-x}\ \text{N}$ cuando $x$ se mide en metros. Calcula el trabajo al pasar de $x=0$ a $x=1$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,1
0,2
0,3
0,4
x (m)
F (N)
F(x) = x · exp(−x)
Trabajo W = ?
(0 ≤ x ≤ 1)
Resolver
★★☆ Sin empezar
Calcula $\int_0^{\pi/2}x\sin x\,dx$ y relaciona el signo del resultado con el del integrando. La figura ilustra los datos y relaciones del problema. Calcula $\int_0^{\pi/2}x\sin x\,dx$ y relaciona el signo del resultado con el del integrando.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
x
y
0
π/2
π/2
(0, 0)
(π/2, π/2)
y = x · sin(x)
Área = ?
Resolver
★★☆ Sin empezar
Demuestra que $\int_a^b xf'(x)\,dx=bf(b)-af(a)-\int_a^bf(x)\,dx$ si $f$ es de clase $C^1$. Aplica a $f(x)=x^2$ en $[0,1]$. Demuestra que $\int_a^b xf'(x)\,dx=bf(b)-af(a)-\int_a^bf(x)\,dx$ si $f$ es de clase $C^1$. Aplica a $f(x)=x^2$ en $[0,1]$.
Resolver
Vuelve al principio: $\int xe^x\,dx$ se resuelve eligiendo $u=x$ (que se simplifica al derivar) y $dv=e^xdx$, lo que da $(x-1)e^x+C$.
Resumen
La fórmula $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ es la regla del producto integrada; sirve si $\int v\,du$ es más fácil que la original.
Elige $u$ lo que se simplifica al derivar (ILATE) y $dv$ lo que sabes integrar; con $\ln x$ o $\arctan x$ solas, usa $dv=dx$.
Con un polinomio de grado $n$ multiplicado por $e^x$, $\sin$ o $\cos$, se repite $n$ veces.
Si reaparece la integral original, plantea una ecuación y despeja; mantén el mismo criterio de $u$ y $dv$.
En definidas, evalúa $[uv]_a^b$ en ambos extremos; las recurrencias $I_n=e-nI_{n-1}$ salen de este mismo mecanismo.
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