Universidad · Cálculo I
Cálculo diferencial · Derivación
Definición de derivada y recta tangente
Del cociente incremental a la derivada Derivadas laterales y puntos no derivables Funciones definidas a trozos: ajustar parámetros Tangentes que pasan por un punto dado Oscilaciones, potencias y derivabilidad Valor absoluto y derivabilidad: casos generales Resumen
Un radar de tramo mide tu posición en dos instantes y calcula la velocidad media. Pero el velocímetro de un coche marca la velocidad en un instante concreto, y en un instante no ha pasado tiempo. ¿Cómo se define una velocidad cuando el intervalo de tiempo tiende a cero? Y, en la gráfica de una función, ¿qué recta merece llamarse «tangente» a la curva en un punto? Las dos preguntas tienen la misma respuesta: la derivada.
Del cociente incremental a la derivada
Si $f$ está definida en un entorno de $a$, la recta que une los puntos $(a, f(a))$ y $(a+h, f(a+h))$ es una secante . Su pendiente es el cociente incremental. Al hacer $h \to 0$, la secante gira y se acerca a una posición límite: la tangente.
Animación de una curva en la que el punto de abscisa a + h se desliza por la curva hacia el punto de abscisa a. La recta secante, que siempre pasa por ambos puntos, gira alrededor del punto en a y se acerca hasta superponerse a la recta tangente, su posición límite. Después el punto vuelve a su sitio y se repite.
a
a + h
secante
tangente
Sea $f$ definida en un entorno de $a$. Se dice que $f$ es derivable en $a$ si existe y es finito el límite
$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$
Ese valor es la derivada de $f$ en $a$. Las dos formas son equivalentes (con $x=a+h$).
Si $f$ es derivable en $a$, la recta tangente a la gráfica en $(a,f(a))$ es
$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$
Si $s(t)$ es la posición, $s'(t_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}$ es la velocidad instantánea: el límite de las velocidades medias.
¿Por qué? La secante tiene pendiente $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ y pasa por $(a,f(a))$; la tangente es, por definición, la recta por ese punto cuya pendiente es el límite de las anteriores.
El cociente $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ da $\frac00$ si sustituyes $h=0$ directamente. Eso no significa que el límite no exista: es una indeterminación que hay que resolver simplificando (factorizando, racionalizando...) antes de pasar al límite.
Una partícula cumple $s(t)=t^2+2t$. La velocidad media entre $t=1$ y $t=1+h$ vale $4+h$. ¿Qué valor tiene la velocidad instantánea en $t=1$ y por qué no es simplemente $4+h$?
Ver respuesta Es $4$ m/s: el límite de $4+h$ cuando $h\to0$. La velocidad media depende de $h$ (del intervalo elegido); la instantánea es el valor al que tienden esas medias.
★☆☆ Sin empezar
Calcula por definición la derivada de $f(x)=x^2-3x$ en $x=2$ y escribe la tangente. La figura sitúa el punto de estudio sobre la curva. Calcula por definición la derivada de $f(x)=x^2-3x$ en $x=2$ y escribe la tangente.
La figura sitúa el punto de estudio sobre la curva.
x
y
−1
0
1
2
3
4
5
−3
−2
2
4
6
8
10
y = x² − 3x
P(2, −2)
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Obtén mediante el cociente incremental la derivada de $f(x)=1/x$ en un punto $a\ne0$. Obtén mediante el cociente incremental la derivada de $f(x)=1/x$ en un punto $a\ne0$.
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Una partícula tiene posición $s(t)=t^2+2t$ metros para $t\ge0$. Compara la velocidad media entre $t=1$ y $t=1+h$ con la velocidad instantánea en $1$. Una partícula tiene posición $s(t)=t^2+2t$ metros para $t\ge0$. Compara la velocidad media entre $t=1$ y $t=1+h$ con la velocidad instantánea en $1$.
Resolver
Derivadas laterales y puntos no derivables
El límite que define $f'(a)$ existe solo si coinciden los límites por la izquierda y por la derecha.
$$f'_+(a)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\qquad f'_-(a)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
$f$ es derivable en $a$ si y solo si ambas existen, son finitas e iguales; entonces $f'(a)=f'_+(a)=f'_-(a)$.
Tres comportamientos típicos de puntos no derivables:
Tres gráficas: un punto anguloso, una cúspide con tangente vertical y una discontinuidad de salto, como ejemplos de puntos no derivables.
pico
tangente vertical
salto
Como $f(1)=0$: $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{|h|}{h}$.
Por la derecha ($h>0$) vale $1$; por la izquierda ($h<0$) vale $-1$. Luego $f'_+(1)=1\neq f'_-(1)=-1$.
¿Hay tangente con pendiente finita en $x=1$? Decide antes de seguir.
No: las derivadas laterales difieren (punto anguloso), así que $f$ no es derivable en $1$. Hay dos semitangentes distintas, pero no una única tangente.
Siguiente paso (1/4)
Si $f$ es derivable en $a$, entonces es continua en $a$. El recíproco es falso.
Idea: $f(a+h)-f(a)=h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to 0\cdot f'(a)=0$.
La función $\sqrt{x}$ ($x\ge0$) tiene $\frac{\sqrt{h}-0}{h}=\frac{1}{\sqrt h}$ en $0$. ¿Es derivable en $0$? ¿Hay tangente geométrica?
Ver respuesta No es derivable: el límite es $+\infty$, no finito. Geométricamente la secante se vuelve vertical, así que la tangente es la recta vertical $x=0$, pero su pendiente no es un número real.
★☆☆ Sin empezar
Para $f(x)=|x-1|$, calcula las derivadas laterales en $1$ y decide si hay tangente con pendiente finita. Para $f(x)=|x-1|$, calcula las derivadas laterales en $1$ y decide si hay tangente con pendiente finita.
Resolver
★★☆ Sin empezar
La curva $y=\sqrt{x}$, $x\ge0$, llega al origen. Analiza su derivada derecha allí y explica si existe tangente vertical. La figura muestra una secante desde el origen. La curva $y=\sqrt{x}$, $x\ge0$, llega al origen. Analiza su derivada derecha allí y explica si existe tangente vertical.
La figura muestra una secante desde el origen.
x
y
0
h
2
3
4
√h
2
y = √x
Secante OQ
Q(h, √h)
Resolver
★★☆ Sin empezar
Para $f(x)=|x^2-1|$, localiza todos los puntos no derivables y calcula sus derivadas laterales. Para $f(x)=|x^2-1|$, localiza todos los puntos no derivables y calcula sus derivadas laterales.
Resolver
Funciones definidas a trozos: ajustar parámetros
En el punto donde cambia la fórmula hay que verificar dos condiciones: continuidad y coincidencia de derivadas laterales.
Dos trozos de curva que se unen en un punto con la misma pendiente, formando un empalme suave.
empalme
Que las derivadas de los dos trozos coincidan en $a$ no basta: si los valores no coinciden hay un salto y $f$ no es derivable. Impón siempre primero la continuidad.
Una función a trozos con una parábola $ax^2+bx+c$ debe empalmar con $e^x$ en $0$ con primera y segunda derivadas continuas. ¿Cuántas condiciones surgen y cuáles?
Ver respuesta Tres: igualdad de valores ($c=1$), de primeras derivadas ($b=1$) y de segundas derivadas ($2a=1$). Tres incógnitas, tres ecuaciones.
★★☆ Sin empezar
Determina $a,b$ para que $f(x)=\begin{cases}ax+b,&x<1,\\x^2,&x\ge1\end{cases}$ sea derivable en $1$. Determina $a,b$ para que $f(x)=\begin{cases}ax+b,&x<1,\\x^2,&x\ge1\end{cases}$ sea derivable en $1$.
Resolver
★★★ Sin empezar
Busca todos los $a,b,c$ para que $f(x)=\begin{cases}e^x,&x\le0,\\ax^2+bx+c,&x>0\end{cases}$ tenga primera y segunda derivadas continuas en $0$. Busca todos los $a,b,c$ para que $f(x)=\begin{cases}e^x,&x\le0,\\ax^2+bx+c,&x>0\end{cases}$ tenga primera y segunda derivadas continuas en $0$.
Resolver
Tangentes que pasan por un punto dado
Una tangente en un punto de la curva puede pasar por un punto exterior. La incógnita es el punto de tangencia , no la pendiente.
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Sea $(t,t^2)$ el punto de tangencia. La tangente es $y=t^2+2t(x-t)$.
Imponemos que pase por $(0,-4)$: $-4=t^2-2t^2=-t^2$.
Resuelve $t^2=4$ y escribe las tangentes.
$t=\pm2$. Tangentes: $y=4x-4$ (en $(2,4)$) e $y=-4x-4$ (en $(-2,4)$).
Siguiente paso (1/4)
La fórmula $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ usa $a$ como abscisa de tangencia. Si el punto $(0,-4)$ no está en la parábola, no se puede tomar $a=0$: hay que dejar $a$ como incógnita.
Desde un punto exterior a una parábola, ¿cuántas tangentes se pueden trazar? ¿Y desde un punto de la propia curva?
Ver respuesta Desde un punto exterior, dos; desde uno de la curva, solo una; desde un punto interior (dentro de la parábola), ninguna. Se corresponde con que la ecuación para $t$ tenga dos, una o cero soluciones.
★★☆ Sin empezar
Encuentra todos los puntos de la parábola $y=x^2$ cuya tangente pasa por $(0,-4)$. La figura muestra la parábola y el punto exterior. Encuentra todos los puntos de la parábola $y=x^2$ cuya tangente pasa por $(0,-4)$.
La figura muestra la parábola y el punto exterior.
−3
−2
−1
1
2
3
−5
−2
2
4
6
8
9
0
x
y
y = x²
P(0, −4)
Resolver
Oscilaciones, potencias y derivabilidad
La definición permite estudiar casos donde las reglas habituales no valen, como $x^\alpha\sin(1/x)$, que oscila infinitamente cerca de $0$.
Curva oscilante x al cuadrado por seno de uno entre x encerrada entre las parábolas x al cuadrado y menos x al cuadrado.
encerrada entre las dos envolventes
Cociente incremental: $\dfrac{h^2\sin(1/h)-0}{h}=h\sin(1/h)$.
Como $|h\sin(1/h)|\le|h|\to0$, por encaje $f'(0)=0$.
Para $x\neq0$: $f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$. El término $\cos(1/x)$ oscila entre $-1$ y $1$ y no tiene límite en $0$.
¿Es $f'$ continua en $0$? Compara $\lim_{x\to0}f'(x)$ con $f'(0)$.
No: $f'$ es discontinua en $0$ (no existe el límite) aunque $f'(0)$ exista. Derivable no implica $C^1$.
Siguiente paso (1/5)
Derivar $x\sin(1/x)$ con las reglas y evaluar en $0$ no tiene sentido, la fórmula no está definida allí. En $x=0$ hay que usar la definición con $f(0)=0$. Y el límite de $f'(x)$ cuando $x\to0$ no tiene por qué ser $f'(0)$.
Para $f(x)=x\sin(1/x)$, el cociente incremental en $0$ es $\sin(1/h)$. ¿Es derivable en $0$?
Ver respuesta No: $\sin(1/h)$ oscila entre $-1$ y $1$ sin tender a ningún valor al hacer $h\to0$ (basta tomar sucesiones $h_n$ con seno $1$ y con seno $-1$). La función es continua en $0$ pero no derivable.
★★☆ Sin empezar
Estudia la derivabilidad en $0$ de $f(x)=x\sen(1/x)$ para $x\ne0$, con $f(0)=0$, usando la definición. Estudia la derivabilidad en $0$ de $f(x)=x\sen(1/x)$ para $x\ne0$, con $f(0)=0$, usando la definición.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Sea $f(x)=x^2\sen(1/x)$ si $x\ne0$ y $f(0)=0$. Calcula $f'(0)$ y decide si $f'$ es continua en $0$. Sea $f(x)=x^2\sen(1/x)$ si $x\ne0$ y $f(0)=0$. Calcula $f'(0)$ y decide si $f'$ es continua en $0$.
Resolver
★★★ Sin empezar
Clasifica, según $\alpha>0$, la continuidad y derivabilidad en $0$ de $f_\alpha(x)=|x|^\alpha\sen(1/x)$, con $f_\alpha(0)=0$. Clasifica, según $\alpha>0$, la continuidad y derivabilidad en $0$ de $f_\alpha(x)=|x|^\alpha\sen(1/x)$, con $f_\alpha(0)=0$.
Resolver
Valor absoluto y derivabilidad: casos generales
Los razonamientos con $|f|$ y con potencias fraccionarias se resuelven con las derivadas laterales.
Gráfica de f con un cruce transversal del eje y su valor absoluto reflejado, que forma un pico, frente al caso de tangencia al eje, donde no hay pico.
f'(a) distinto de 0: pico
f'(a) = 0: suave
Si $f$ es derivable en $a$ y $f(a)=0$, entonces $g=|f|$ es derivable en $a$ si y solo si $f'(a)=0$, y en ese caso $g'(a)=0$.
Idea: $\dfrac{g(a+h)}{h}=\dfrac{|f(a+h)|}{h}=\dfrac{|f(a+h)/h|\,|h|}{h}$. Como $f(a+h)/h\to f'(a)$, los límites laterales son $\pm|f'(a)|$. Coinciden solo si $|f'(a)|=0$.
$|x|^3$ o $|x^2|=x^2$ son derivables en $0$. Lo que importa es si $f$ cruza el cero con pendiente no nula (pico) o lo toca con derivada nula (sin pico).
Para $f(x)=x^p$ en $x>0$ y $0$ en $x\le0$ se tiene, si $p>1$, $f'(0)=0$. Escribe qué condición necesitas para que exista $f''(0)$.
Ver respuesta Para $x>0$, $f'(x)=px^{p-1}$. Hace falta $f'(0)=0$ ($p>1$) y que $\frac{f'(h)-f'(0)}{h}=ph^{p-2}$ tenga el mismo límite por ambos lados: por la izquierda es $0$, así que $ph^{p-2}\to0$, es decir $p>2$. Entonces $f''(0)=0$.
★★★ Sin empezar
Una función $f$ es derivable en $a$ y $f(a)=0$. Define $g(x)=|f(x)|$. Demuestra que $g$ es derivable en $a$ si y solo si $f'(a)=0$, y calcula entonces $g'(a)$. Una función $f$ es derivable en $a$ y $f(a)=0$. Define $g(x)=|f(x)|$. Demuestra que $g$ es derivable en $a$ si y solo si $f'(a)=0$, y calcula entonces $g'(a)$.
Resolver
★★★ Sin empezar
Determina para qué $p>0$ la función $f(x)=x^p$ en $x>0$, extendida por cero para $x\le0$, es dos veces derivable en $0$. Determina para qué $p>0$ la función $f(x)=x^p$ en $x>0$, extendida por cero para $x\le0$, es dos veces derivable en $0$.
Resolver
Vuelve al principio: la velocidad que marca el velocímetro es el límite de las velocidades medias, y la tangente es la posición límite de las secantes; ambas son $f'(a)$, siempre que ese límite exista, sea finito y coincida por ambos lados.
Resumen
$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$: pendiente de la tangente y velocidad instantánea; hay que resolver la indeterminación $\frac00$, no sustituir $h=0$.
Tangente en $(a,f(a))$: $y=f(a)+f'(a)(x-a)$. Si el punto no está en la curva, la incógnita es la abscisa de tangencia.
Derivable $\iff$ las derivadas laterales existen, son finitas e iguales. Derivable implica continua; lo contrario es falso.
En funciones a trozos: primero continuidad y después igualdad de derivadas laterales (y de superiores si se pide).
Con oscilaciones ($x^\alpha\sin(1/x)$) se usa la definición y el encaje; una derivable puede tener derivada no continua.
$|f|$ con $f(a)=0$ es derivable en $a$ solo si $f'(a)=0$.
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