Subsucesiones, Cauchy y completitud básica
Una señal digital oscila entre dos niveles, pero cada vez más cerca de ellos, y te piden saber si "se estabiliza". Mirar la sucesión entera no siempre ayuda: a veces hay que fijarse en subconjuntos de términos, o medir la distancia entre términos lejanos sin conocer el límite. ¿Cómo se decide que una sucesión converge sin saber a qué valor lo hace?
Subsucesiones y su límite
Esto da un criterio negativo muy útil: si dos subsucesiones tienen límites distintos, la sucesión no converge.
Halla los límites de las subsucesiones pares e impares de $a_n=(-1)^n+1/n$, $n\geq1$, y decide si converge. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Halla los límites de las subsucesiones pares e impares de $a_n=(-1)^n+1/n$, $n\geq1$, y decide si converge.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Si $a_n\to3$, ¿cuánto vale $\lim_{k\to\infty}a_{k^2}$? Justifica con la definición de subsucesión.
Si $a_n\to3$, ¿cuánto vale $\lim_{k\to\infty}a_{k^2}$? Justifica con la definición de subsucesión.
Supón que $a_{2n}\to L$ y $a_{2n-1}\to L$. Demuestra que $a_n\to L$ usando una única cota para los índices.
Supón que $a_{2n}\to L$ y $a_{2n-1}\to L$. Demuestra que $a_n\to L$ usando una única cota para los índices.
Valores de adherencia y Bolzano–Weierstrass
¿Garantiza la acotación de una sucesión real que tenga una subsucesión convergente? ¿Garantiza que la sucesión completa converja? Nombra el teorema y da un contraejemplo…
¿Garantiza la acotación de una sucesión real que tenga una subsucesión convergente? ¿Garantiza que la sucesión completa converja? Nombra el teorema y da un contraejemplo para la segunda afirmación.
Sea $a_n=\cos(n\pi/2)$. Identifica todos sus valores de adherencia y construye una subsucesión para cada uno. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Sea $a_n=\cos(n\pi/2)$. Identifica todos sus valores de adherencia y construye una subsucesión para cada uno.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Considera $a_n=(-1)^n+(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}/n$. Halla todos los valores de adherencia y prueba que no hay más.
Considera $a_n=(-1)^n+(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}/n$. Halla todos los valores de adherencia y prueba que no hay más.
Sucesiones de Cauchy
La idea: a partir de cierto punto, todos los términos están cerca unos de otros, sin mencionar ningún límite.
Demuestra directamente que $a_n=1/n$ es de Cauchy.
Demuestra directamente que $a_n=1/n$ es de Cauchy.
Prueba que toda sucesión de Cauchy es acotada, explicando cómo se controlan los primeros términos.
Prueba que toda sucesión de Cauchy es acotada, explicando cómo se controlan los primeros términos.
Estudia si $a_n=\ln n$ es de Cauchy. No basta afirmar que sus diferencias consecutivas tienden a cero.
Estudia si $a_n=\ln n$ es de Cauchy. No basta afirmar que sus diferencias consecutivas tienden a cero.
Cauchy equivale a convergente: completitud
La completitud es lo que distingue $\mathbb R$ de $\mathbb Q$: en $\mathbb Q$ hay sucesiones de Cauchy sin límite racional.
Sea $a_n$ una sucesión real de Cauchy y supón que $a_{n_k}\to L$. Demuestra que $a_n\to L$.
Sea $a_n$ una sucesión real de Cauchy y supón que $a_{n_k}\to L$. Demuestra que $a_n\to L$.
Sea $a_n=\lfloor10^n\sqrt2\rfloor/10^n$, donde $\lfloor x\rfloor$ es la parte entera. Prueba que es una sucesión racional de Cauchy e indica su límite real.
Sea $a_n=\lfloor10^n\sqrt2\rfloor/10^n$, donde $\lfloor x\rfloor$ es la parte entera. Prueba que es una sucesión racional de Cauchy e indica su límite real.
Una sucesión cumple $|a_{n+1}-a_n|\leq2^{-n}$ para $n\geq1$. Prueba que converge y acota $|a_n-L|$ en función de $n$.
Una sucesión cumple $|a_{n+1}-a_n|\leq2^{-n}$ para $n\geq1$. Prueba que converge y acota $|a_n-L|$ en función de $n$.
Estrategias: de las subsucesiones a la convergencia
Sea $(a_n)$ acotada y supón que todas sus subsucesiones convergentes tienen el mismo límite $L$. Demuestra que $a_n\to L$.
Sea $(a_n)$ acotada y supón que todas sus subsucesiones convergentes tienen el mismo límite $L$. Demuestra que $a_n\to L$.
¿Es cierto que $a_{n+1}-a_n\to0$ obliga a que $(a_n)$ converja? Estudia $a_n=\sqrt n$ y explica qué información falta.
¿Es cierto que $a_{n+1}-a_n\to0$ obliga a que $(a_n)$ converja? Estudia $a_n=\sqrt n$ y explica qué información falta.