Monotonía, acotación y recurrencia
Un filtro digital actualiza su salida con $u_{n+1}=0{,}6\,u_n+4$ y no tienes fórmula para $u_n$. ¿Se estabiliza? ¿En qué valor? ¿Cuántas iteraciones necesitas para estar a $0{,}1$ de él? Para responder basta una idea: una sucesión que solo sube y no puede pasar de cierta altura tiene que acabar acercándose a algo.
Monotonía y acotación
Para estudiar la monotonía hay tres herramientas: el signo de $a_{n+1}-a_n$, el cociente $a_{n+1}/a_n$ (si $a_n>0$, comparándolo con $1$) o, si $a_n=f(n)$, el signo de $f'$.
Estudia monotonía, cotas y límite de $a_n=n/(n+1)$, $n\geq1$.
Estudia monotonía, cotas y límite de $a_n=n/(n+1)$, $n\geq1$.
Para $a_n=3+2^{-n}$, $n\geq1$, demuestra que la sucesión decrece y está acotada. Halla su ínfimo y su máximo.
Para $a_n=3+2^{-n}$, $n\geq1$, demuestra que la sucesión decrece y está acotada. Halla su ínfimo y su máximo.
Estudia monotonía y límite de $a_n=(n+1)/(2n+3)$, $n\geq1$.
Estudia monotonía y límite de $a_n=(n+1)/(2n+3)$, $n\geq1$.
Teorema de convergencia monótona
Es un teorema de existencia: asegura el límite sin decir cuánto vale. Además, una sucesión monótona no acotada diverge a $\pm\infty$.
Da un ejemplo de sucesión acotada que no sea convergente y explica por qué no contradice el teorema de convergencia monótona.
Da un ejemplo de sucesión acotada que no sea convergente y explica por qué no contradice el teorema de convergencia monótona.
Sea $a_n=\sum_{k=1}^n1/[k(k+1)]$. Prueba su convergencia utilizando monotonía y una cota, y calcula el límite.
Sea $a_n=\sum_{k=1}^n1/[k(k+1)]$. Prueba su convergencia utilizando monotonía y una cota, y calcula el límite.
Sucesiones por recurrencia: inducción y límite
Una sucesión definida por $a_{n+1}=f(a_n)$ con $a_1$ dado se estudia en tres pasos: acotar por inducción, probar la monotonía (también por inducción o con $a_{n+1}-a_n$) y, una vez asegurada la convergencia, calcular el límite pasando al límite en la recurrencia.
Sea $a_1=1$ y $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$. Calcula $a_2,a_3$ y demuestra por inducción que $1\leq a_n\leq2$.
Sea $a_1=1$ y $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$. Calcula $a_2,a_3$ y demuestra por inducción que $1\leq a_n\leq2$.
Sea $a_1=1$ y $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$. Demuestra que converge y determina su límite sin dar por supuesta la convergencia.
Sea $a_1=1$ y $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$. Demuestra que converge y determina su límite sin dar por supuesta la convergencia.
Para $c>0$, se define $x_0=0$, $x_{n+1}=\sqrt{c+x_n}$. Prueba que converge y halla el límite en función de $c$.
Para $c>0$, se define $x_0=0$, $x_{n+1}=\sqrt{c+x_n}$. Prueba que converge y halla el límite en función de $c$.
Recurrencias lineales y fórmula explícita
Sea $a_1=0$ y $a_{n+1}=(a_n+2)/2$. Calcula los cuatro primeros términos y conjetura el límite; comprueba la conjetura obteniendo una fórmula explícita.
Sea $a_1=0$ y $a_{n+1}=(a_n+2)/2$. Calcula los cuatro primeros términos y conjetura el límite; comprueba la conjetura obteniendo una fórmula explícita.
La temperatura de un objeto se modela por $T_0=80$ y $T_{n+1}=20+0,8(T_n-20)$, en grados Celsius. Halla $T_n$ y su límite. La figura ilustra los datos y relaciones del…
La temperatura de un objeto se modela por $T_0=80$ y $T_{n+1}=20+0,8(T_n-20)$, en grados Celsius. Halla $T_n$ y su límite.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Estudia $x_{n+1}=2-x_n$, con $x_0\in\mathbb R$: clasifica los valores iniciales que producen convergencia.
Estudia $x_{n+1}=2-x_n$, con $x_0\in\mathbb R$: clasifica los valores iniciales que producen convergencia.
Control del error y convergencia rápida
Algunas recurrencias convergen mucho más deprisa. Con $x_{n+1}=\tfrac12\left(x_n+\tfrac{a}{x_n}\right)$, $a>0$, el error $e_n=x_n-\sqrt a$ cumple, desde $n=1$, $0\le e_{n+1}\le \dfrac{e_n^2}{2\sqrt a}$: el error se eleva al cuadrado en cada paso (convergencia cuadrática). Se prueba con $e_{n+1}=\dfrac{e_n^2}{2x_n}$ y $x_n\ge\sqrt a$ (desigualdad entre medias aritmética y geométrica).
Un filtro sigue $u_{n+1}=0,6u_n+4$, $u_0=0$. Determina el menor $n$ que asegura $|u_n-10|\leq0,1$.
Un filtro sigue $u_{n+1}=0,6u_n+4$, $u_0=0$. Determina el menor $n$ que asegura $|u_n-10|\leq0,1$.
Una corrección iterativa cumple $|e_{n+1}|\leq|e_n|/3$ y $|e_0|\leq2$. Demuestra una cota para $|e_n|$ y da un índice que garantice error menor que $10^{-4}$.
Una corrección iterativa cumple $|e_{n+1}|\leq|e_n|/3$ y $|e_0|\leq2$. Demuestra una cota para $|e_n|$ y da un índice que garantice error menor que $10^{-4}$.
En el método $x_{n+1}=(x_n+a/x_n)/2$, $a>0$, $x_0>0$, demuestra que, a partir de $n=1$, el error $e_n=x_n-\sqrt a$ satisface $0\leq e_{n+1}\leq e_n^2/(2\sqrt a)$.…
En el método $x_{n+1}=(x_n+a/x_n)/2$, $a>0$, $x_0>0$, demuestra que, a partir de $n=1$, el error $e_n=x_n-\sqrt a$ satisface $0\leq e_{n+1}\leq e_n^2/(2\sqrt a)$. Interpreta la cota.
Vuelve al principio: como $u_{n+1}=0{,}6u_n+4$ tiene $r=0{,}6$ y punto fijo $10$, la salida se estabiliza en $10$, y basta $n=10$ para estar a $0{,}1$.