Operaciones y aplicaciones de series
La integral $\int_0^{1/2} e^{-t^2}\,dt$ aparece en probabilidad, difusión del calor y teoría de señales, y sin embargo $e^{-t^2}$ no tiene primitiva elemental. ¿Cómo calcular su valor con la precisión que quieras? Y si sabes sumar $\sum x^n$, ¿puedes sumar también $\sum n/3^n$? La respuesta es la misma: dentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias se comporta como un polinomio infinito que se deriva e integra término a término.
Derivar e integrar término a término
Deriva la serie geométrica para obtener una representación de $1/(1-x)^2$. Indica el intervalo donde justificas la derivación término a término.
Deriva la serie geométrica para obtener una representación de $1/(1-x)^2$. Indica el intervalo donde justificas la derivación término a término.
Una serie de potencias tiene radio $R=2$. ¿Qué radio tienen su serie derivada y una primitiva término a término? ¿Se conservan necesariamente los extremos?
Una serie de potencias tiene radio $R=2$. ¿Qué radio tienen su serie derivada y una primitiva término a término? ¿Se conservan necesariamente los extremos?
Estudia los extremos después de derivar $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n^2$. Compara los intervalos de convergencia de la serie original y de la derivada.
Estudia los extremos después de derivar $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n^2$. Compara los intervalos de convergencia de la serie original y de la derivada.
Obtener nuevas series a partir de las conocidas
Integra la serie de $1/(1+x^2)$ desde $0$ hasta $x$ para obtener la de $\arctan x$, inicialmente para $|x|<1$.
Integra la serie de $1/(1+x^2)$ desde $0$ hasta $x$ para obtener la de $\arctan x$, inicialmente para $|x|<1$.
Obtén una serie para $-\ln(1-x)/x$, prolongada en cero, y determina su valor en cero y su intervalo de convergencia.
Obtén una serie para $-\ln(1-x)/x$, prolongada en cero, y determina su valor en cero y su intervalo de convergencia.
Obtén una serie para $\int_0^x\ln(1+t)/t\,dt$, definiendo por continuidad el integrando en cero. Justifica la integración para $|x|<1$ y calcula el valor del integrando…
Obtén una serie para $\int_0^x\ln(1+t)/t\,dt$, definiendo por continuidad el integrando en cero. Justifica la integración para $|x|<1$ y calcula el valor del integrando prolongado en cero.
Sumar series numéricas con derivadas
Para sumar $\sum n/3^n$ la idea es reconocerla como una serie de potencias evaluada en un punto $x$ dentro de su intervalo, y obtenerla derivando la geométrica.
Calcula $\sum_{n=1}^{\infty}n/3^n$ a partir de la derivada de la geométrica.
Calcula $\sum_{n=1}^{\infty}n/3^n$ a partir de la derivada de la geométrica.
Calcula $\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)/2^n$ derivando dos veces la geométrica.
Calcula $\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)/2^n$ derivando dos veces la geométrica.
A partir de la geométrica, calcula $\sum_{n=1}^{\infty}n^2/2^n$ mediante el operador $x\frac{d}{dx}$ aplicado dos veces. Justifica dónde puedes hacerlo.
A partir de la geométrica, calcula $\sum_{n=1}^{\infty}n^2/2^n$ mediante el operador $x\frac{d}{dx}$ aplicado dos veces. Justifica dónde puedes hacerlo.
Aplicaciones: valor medio de un modelo de probabilidad
Un modelo geométrico asigna $P(N=n)=(1-q)q^n$ para $n\ge0$, con $0 Un modelo asigna probabilidad $P(N=n)=(1-q)q^n$ para $n\geq0$, $0Un modelo asigna probabilidad $P(N=n)=(1-q)q^n$ para $n\geq0$, $0<q<1$. Verifica que la suma vale $1$ y calcula el valor medio $\sum_{n=0}^{\infty}nP(N=n)$ usando series.
Integrales sin primitiva elemental y control del error
Obtén una serie para $\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ y escribe sus primeros tres términos no nulos.
Obtén una serie para $\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ y escribe sus primeros tres términos no nulos.
Aproxima $\int_0^{1/2}e^{-t^2}\,dt$ con los tres primeros términos de su serie integrada y certifica el error por alternancia. La figura ilustra los datos y relaciones…
Aproxima $\int_0^{1/2}e^{-t^2}\,dt$ con los tres primeros términos de su serie integrada y certifica el error por alternancia.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Se desea aproximar $I=\int_0^1\sin(t)/t\,dt$, con extensión continua en cero. Deduce una serie y determina el menor número de términos que la cota alternada garantiza…
Se desea aproximar $I=\int_0^1\sin(t)/t\,dt$, con extensión continua en cero. Deduce una serie y determina el menor número de términos que la cota alternada garantiza para error menor que $10^{-5}$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Pasar al extremo: un error clásico
Sea $F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ para $|x|<1$. Una alumna sustituye $x=1$ después de integrar y concluye que $\sum1/n^2=F(1)$. Identifica el error, escribe la…
Sea $F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ para $|x|<1$. Una alumna sustituye $x=1$ después de integrar y concluye que $\sum1/n^2=F(1)$. Identifica el error, escribe la identidad integrada correcta y explica qué debe comprobarse al pasar al extremo.