Técnicas de cálculo y equivalencias
Sustituyes $x=0$ en $\dfrac{\sin x}{x}$ y te sale $\dfrac{0}{0}$. Sustituyes en $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ con $x=3$ y también. ¿Significa que los dos límites valen lo mismo? No: el primero vale $1$ y el segundo $6$. Una indeterminación no es un resultado, es una señal de que hay que trabajar la expresión. Este apartado reúne las herramientas para hacerlo, y también cuándo no se pueden usar.
Indeterminaciones algebraicas: factorizar y racionalizar
El objetivo es eliminar el factor que anula numerador y denominador. Con polinomios se factoriza; con raíces se multiplica y divide por el conjugado, usando $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$.
Calcula $\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}$ sin derivadas.
Calcula $\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}$ sin derivadas.
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$. Para $x>0$, el siguiente esquema geométrico ilustra la raíz del enunciado; el límite pedido sigue siendo bilateral.
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$.
Para $x>0$, el siguiente esquema geométrico ilustra la raíz del enunciado; el límite pedido sigue siendo bilateral.
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-x}}{x}$.
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-x}}{x}$.
Límites en el infinito: la potencia dominante
Calcula $\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^3-x}{2x^3+7}$.
Calcula $\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^3-x}{2x^3+7}$.
Calcula $\lim_{x\to+\infty}x(\sqrt{x^2+1}-x)$.
Calcula $\lim_{x\to+\infty}x(\sqrt{x^2+1}-x)$.
Límites notables y cambio de variable
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{x}$ usando el límite notable del seno.
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{x}$ usando el límite notable del seno.
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ a partir de $\lim_{u\to0}(e^u-1)/u=1$.
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ a partir de $\lim_{u\to0}(e^u-1)/u=1$.
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)}{x}$ e indica por qué la expresión está definida cerca de cero.
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)}{x}$ e indica por qué la expresión está definida cerca de cero.
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ sin L’Hôpital ni Taylor. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ sin L’Hôpital ni Taylor.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Equivalencias y cuándo no se pueden usar
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}{\sin(3x)}$ usando equivalencias y justificando que los denominadores no se anulan en un entorno perforado suficientemente pequeño.
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}{\sin(3x)}$ usando equivalencias y justificando que los denominadores no se anulan en un entorno perforado suficientemente pequeño.
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos x}$.
Calcula $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos x}$.
Un alumno sustituye $\sqrt{1+x}$ por $1$ y obtiene cero para $\lim_{x\to0}(\sqrt{1+x}-1)/x$. Explica por qué la sustitución de equivalentes en una diferencia no está…
Un alumno sustituye $\sqrt{1+x}$ por $1$ y obtiene cero para $\lim_{x\to0}(\sqrt{1+x}-1)/x$. Explica por qué la sustitución de equivalentes en una diferencia no está justificada y calcula el límite correcto.
Formas exponenciales y límites con parámetros
Calcula $\lim_{x\to0}(1+4x)^{1/x}$ indicando el dominio relevante.
Calcula $\lim_{x\to0}(1+4x)^{1/x}$ indicando el dominio relevante.
Calcula $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x+1}{2x-3}\right)^x$.
Calcula $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x+1}{2x-3}\right)^x$.
Calcula $\lim_{x\to0^+}(1+x)^{1/\sqrt{x}}$ y $\lim_{x\to0^+}(1+\sqrt{x})^{1/x}$, distinguiendo los dos cambios de escala.
Calcula $\lim_{x\to0^+}(1+x)^{1/\sqrt{x}}$ y $\lim_{x\to0^+}(1+\sqrt{x})^{1/x}$, distinguiendo los dos cambios de escala.
Cotas, acotación y casos límite
Calcula $\lim_{x\to0^+}x^x$ y explica por qué no se obtiene sustituyendo simplemente $0^0$.
Calcula $\lim_{x\to0^+}x^x$ y explica por qué no se obtiene sustituyendo simplemente $0^0$.
Para $a,b>0$, calcula $\lim_{x\to0}\frac{a^x-b^x}{x}$ y determina cuándo vale cero.
Para $a,b>0$, calcula $\lim_{x\to0}\frac{a^x-b^x}{x}$ y determina cuándo vale cero.
Determina todos los $a,b\in\mathbb R$ para que $\lim_{x\to0}\frac{\sin x-ax-bx^3}{|x|^3}$ exista y sea finito. Calcula el límite y justifica por qué deben coincidir los…
Determina todos los $a,b\in\mathbb R$ para que $\lim_{x\to0}\frac{\sin x-ax-bx^3}{|x|^3}$ exista y sea finito. Calcula el límite y justifica por qué deben coincidir los límites laterales. Puedes usar el desarrollo de Taylor del seno.
Vuelve al principio: $\frac{\sin x}{x}\to1$ y $\frac{x^2-9}{x-3}\to6$ porque la indeterminación $\frac00$ esconde el orden en que numerador y denominador se anulan, y cada técnica sirve para sacarlo a la luz.