Dominio, composición e inversa
Un termómetro digital convierte una tensión en grados, y luego otro programa convierte esos grados en un color de pantalla: son dos funciones encadenadas. Si ahora quieres recuperar la tensión a partir del color, tendrás que deshacer la cadena. ¿Siempre se puede? ¿Para qué valores tiene sentido cada paso? Dominio, composición e inversa responden a estas tres preguntas.
Dominio y recorrido
Determina el dominio real de $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$.
Determina el dominio real de $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$.
Halla dominio y recorrido de $f(x)=\ln(4-x^2)$.
Halla dominio y recorrido de $f(x)=\ln(4-x^2)$.
Determina el dominio de $h(x)=\arcsin\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ y resuelve $h(x)=\pi/6$.
Determina el dominio de $h(x)=\arcsin\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ y resuelve $h(x)=\pi/6$.
Composición de funciones
Sean $f(x)=\sqrt{x}$ y $g(x)=x-3$. Calcula $f\circ g$ y $g\circ f$ con sus respectivos dominios.
Sean $f(x)=\sqrt{x}$ y $g(x)=x-3$. Calcula $f\circ g$ y $g\circ f$ con sus respectivos dominios.
Una función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ satisface $f(x)+2f(-x)=x^2+3x$. Determina $f$ y verifica la identidad.
Una función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ satisface $f(x)+2f(-x)=x^2+3x$. Determina $f$ y verifica la identidad.
Inyectividad e inversa
Decide si $f(x)=x^2$ es inyectiva en $\mathbb R$ y en $[0,\infty)$. En el segundo caso da la inversa con dominio y recorrido.
Decide si $f(x)=x^2$ es inyectiva en $\mathbb R$ y en $[0,\infty)$. En el segundo caso da la inversa con dominio y recorrido.
Determina la inversa de $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$ y sus dominios de entrada y salida.
Determina la inversa de $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$ y sus dominios de entrada y salida.
Para $a\in\mathbb R$, estudia cuándo $f_a(x)=x^2+ax$ es inyectiva en $[0,\infty)$. En esos casos calcula su inversa y el dominio de esta.
Para $a\in\mathbb R$, estudia cuándo $f_a(x)=x^2+ax$ es inyectiva en $[0,\infty)$. En esos casos calcula su inversa y el dominio de esta.
Funciones elementales, restricciones y sus inversas
Expresa $\sin(\arccos x)$ sin funciones trigonométricas e indica el dominio. Justifica el signo de la raíz.
Expresa $\sin(\arccos x)$ sin funciones trigonométricas e indica el dominio. Justifica el signo de la raíz.
Para $a>0$, restringe $f(x)=x+a/x$ al intervalo $[\sqrt a,\infty)$. Prueba sin derivadas que es estrictamente creciente, halla el recorrido y su inversa.
Para $a>0$, restringe $f(x)=x+a/x$ al intervalo $[\sqrt a,\infty)$. Prueba sin derivadas que es estrictamente creciente, halla el recorrido y su inversa.
Paridad, periodicidad, trozos y modelos
La temperatura de un cuerpo se modela por $T(t)=20+60e^{-t/5}$, con $t\geq0$ en minutos y $T$ en grados Celsius. Halla $T(0)$ y expresa el tiempo en función de $T$,…
La temperatura de un cuerpo se modela por $T(t)=20+60e^{-t/5}$, con $t\geq0$ en minutos y $T$ en grados Celsius. Halla $T(0)$ y expresa el tiempo en función de $T$, indicando su intervalo físico.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Usando $\cosh x=(e^x+e^{-x})/2$ y $\sinh x=(e^x-e^{-x})/2$, demuestra $\cosh^2x-\sinh^2x=1$ y determina la paridad de ambas funciones.
Usando $\cosh x=(e^x+e^{-x})/2$ y $\sinh x=(e^x-e^{-x})/2$, demuestra $\cosh^2x-\sinh^2x=1$ y determina la paridad de ambas funciones.
Una señal es $s(t)=3\sin(2t-\pi/3)+1$. Determina amplitud, periodo, desplazamiento horizontal y recorrido. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Una señal es $s(t)=3\sin(2t-\pi/3)+1$. Determina amplitud, periodo, desplazamiento horizontal y recorrido.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Para $f(x)=|x-1|+|x+1|$, escribe una expresión a trozos y determina todos los $x$ con $f(x)=4$.
Para $f(x)=|x-1|+|x+1|$, escribe una expresión a trozos y determina todos los $x$ con $f(x)=4$.
Vuelve al principio: deshacer la cadena termómetro → color exige que cada eslabón sea inyectivo (o restringido a un tramo donde lo sea) y que las salidas de uno caigan en el dominio del siguiente.