Orden, completitud y razonamiento
Un sensor te da $2{,}50$ con un error de hasta $0{,}02$ y necesitas saber entre qué valores puede estar el cuadrado. El conjunto $\{1-1/n\}$ se acerca a $1$ sin llegar nunca, ¿tiene «máximo»? ¿Cómo se prueba que $\sqrt{3}$ no es una fracción? Todo el cálculo de una variable descansa en tres cosas: manejar desigualdades con soltura, saber que los reales no tienen «agujeros» y demostrar con rigor. Este apartado las pone a punto.
Desigualdades, valor absoluto e intervalos
Resuelve $|2x-3|<5$ y representa el conjunto solución mediante intervalos.
Resuelve $|2x-3|<5$ y representa el conjunto solución mediante intervalos.
Resuelve $\frac{x-1}{x+2}\geq0$, indicando los puntos excluidos del dominio.
Resuelve $\frac{x-1}{x+2}\geq0$, indicando los puntos excluidos del dominio.
Prueba que $\left||x|-|y|\right|\leq|x-y|$ para cualesquiera reales $x,y$.
Prueba que $\left||x|-|y|\right|\leq|x-y|$ para cualesquiera reales $x,y$.
Intervalos, uniones y cotas de error
Sean $A=(-2,1]$ y $B=[0,3)$. Calcula unión, intersección y $A\setminus B$, e indica cuáles de estos tres conjuntos son cerrados en $\mathbb R$.
Sean $A=(-2,1]$ y $B=[0,3)$. Calcula unión, intersección y $A\setminus B$, e indica cuáles de estos tres conjuntos son cerrados en $\mathbb R$.
Un sensor indica $x=2,50$ con error absoluto no superior a $0,02$. Obtén un intervalo garantizado para $x^2$ sin linealizar. La figura ilustra los datos y relaciones del…
Un sensor indica $x=2,50$ con error absoluto no superior a $0,02$. Obtén un intervalo garantizado para $x^2$ sin linealizar.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Supremo, ínfimo y completitud
Para $A=\{1-1/n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}$, determina ínfimo, supremo, mínimo y máximo. Justifica cuáles pertenecen al conjunto.
Para $A=\{1-1/n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}$, determina ínfimo, supremo, mínimo y máximo. Justifica cuáles pertenecen al conjunto.
Decide si la afirmación «todo conjunto real acotado tiene máximo» es cierta. Si es falsa, da un contraejemplo y una versión correcta usando el supremo.
Decide si la afirmación «todo conjunto real acotado tiene máximo» es cierta. Si es falsa, da un contraejemplo y una versión correcta usando el supremo.
Sea $A\subset\mathbb R$ no vacío y acotado superiormente, con $s=\sup A$. Demuestra que para todo $\varepsilon>0$ existe $a\in A$ con $s-\varepsilon<a\leq s$, y prueba…
Sea $A\subset\mathbb R$ no vacío y acotado superiormente, con $s=\sup A$. Demuestra que para todo $\varepsilon>0$ existe $a\in A$ con $s-\varepsilon
Densidad de los racionales y propiedad arquimediana
Prueba que entre dos números reales distintos $a<b$ existe un número racional. Puedes usar la propiedad arquimediana.
Prueba que entre dos números reales distintos $a
Para conjuntos no vacíos acotados $A,B$, define $A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$. Demuestra $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$.
Para conjuntos no vacíos acotados $A,B$, define $A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$. Demuestra $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$.
Razonamiento: inducción y reducción al absurdo
Demuestra por inducción $\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2$ para $n\geq1$.
Demuestra por inducción $\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2$ para $n\geq1$.
Demuestra que $\sqrt{3}$ es irracional. Puedes usar que si $3$ divide a $p^2$, entonces divide a $p$.
Demuestra que $\sqrt{3}$ es irracional. Puedes usar que si $3$ divide a $p^2$, entonces divide a $p$.
Prueba por inducción la desigualdad de Bernoulli $(1+x)^n\geq1+nx$ para $x\geq-1$ y entero $n\geq1$. Determina cuándo hay igualdad si $n\geq2$.
Prueba por inducción la desigualdad de Bernoulli $(1+x)^n\geq1+nx$ para $x\geq-1$ y entero $n\geq1$. Determina cuándo hay igualdad si $n\geq2$.
Vuelve al principio: el cuadrado del sensor queda en $[6{,}1504;\,6{,}3504]$ por monotonía; $\{1-1/n\}$ tiene supremo $1$ pero no máximo; y $\sqrt3$ no es fracción por reducción al absurdo.