Trapecios, Simpson y control del error
Un sensor registra la velocidad de un vehículo cada segundo y quieres saber cuánto ha avanzado; o te piden $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$, que no tiene primitiva elemental. En ambos casos no hay una primitiva que evaluar, solo valores de $f$ en unos puntos. La pregunta es doble: cómo convertir esos valores en una estimación de la integral y cuántos puntos hacen falta para que el error sea menor que una tolerancia dada.
Trapecio y punto medio
¿Por qué? Se sustituye $f$ por un polinomio sencillo que sí sabemos integrar: una recta por los extremos (trapecio) o una constante igual al valor central (punto medio). Ambas reglas son exactas para rectas.
Aproxima $\int_0^2x^2\,dx$ mediante la regla del trapecio simple y compara con el valor exacto. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Aproxima $\int_0^2x^2\,dx$ mediante la regla del trapecio simple y compara con el valor exacto.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Aplica el punto medio con un único subintervalo a $\int_0^2(x+1)\,dx$. Explica por qué aquí el resultado es exacto.
Aplica el punto medio con un único subintervalo a $\int_0^2(x+1)\,dx$. Explica por qué aquí el resultado es exacto.
Trapecio compuesto y su error
¿Por qué? Los nodos interiores pertenecen a dos trapecios contiguos y por eso pesan el doble. El error por trapecio es del orden de $h^3f''$; al sumar $n$ trapecios queda $n\,h^3\sim h^2$. Duplicar $n$ divide el error entre $4$.
Calcula el trapecio compuesto con $n=2$ para $\int_0^1x^2\,dx$. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula el trapecio compuesto con $n=2$ para $\int_0^1x^2\,dx$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
La velocidad de un móvil, en $\text{m/s}$, se registra en $t=0,1,2,3$ segundos con valores $0,2,3,3$. Estima el desplazamiento con trapecios y explica por qué no puedes…
La velocidad de un móvil, en $\text{m/s}$, se registra en $t=0,1,2,3$ segundos con valores $0,2,3,3$. Estima el desplazamiento con trapecios y explica por qué no puedes certificar el error con estos datos solamente.
Para $f\in C^2([a,b])$, usa $|E_T|\le(b-a)^3\max|f''|/(12n^2)$. ¿Cuántos subintervalos iguales garantizan error menor que $10^{-3}$ al integrar $x^2$ en $[0,1]$ con…
Para $f\in C^2([a,b])$, usa $|E_T|\le(b-a)^3\max|f''|/(12n^2)$. ¿Cuántos subintervalos iguales garantizan error menor que $10^{-3}$ al integrar $x^2$ en $[0,1]$ con trapecios?
Signo del error y convexidad
Sin integrar, decide si el trapecio compuesto sobreestima o subestima $\int_0^1\sqrt{1+x}\,dx$. Justifica geométricamente y por la segunda derivada. La figura ilustra…
Sin integrar, decide si el trapecio compuesto sobreestima o subestima $\int_0^1\sqrt{1+x}\,dx$. Justifica geométricamente y por la segunda derivada.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Simpson
¿Por qué? Con $n=2$, $S_2$ es la combinación $\tfrac13T_{\text{fino}}\cdot4-\tfrac13T_{\text{grueso}}$ que cancela el error de orden $h^2$ del trapecio (se verá en el último apartado). Queda un error de orden $h^4$: duplicar $n$ divide el error entre $16$.
Aplica Simpson simple a $\int_0^2x^3\,dx$.
Aplica Simpson simple a $\int_0^2x^3\,dx$.
Aproxima $\int_0^1e^x\,dx$ con Simpson compuesto y $n=4$. Da la expresión exacta de la aproximación, sin redondear.
Aproxima $\int_0^1e^x\,dx$ con Simpson compuesto y $n=4$. Da la expresión exacta de la aproximación, sin redondear.
Usa $|E_S|\le(b-a)^5\max|f^{(4)}|/(180n^4)$ para dar una cota del error de Simpson compuesto con $n=4$ en $\int_0^1e^x\,dx$.
Usa $|E_S|\le(b-a)^5\max|f^{(4)}|/(180n^4)$ para dar una cota del error de Simpson compuesto con $n=4$ en $\int_0^1e^x\,dx$.
Control del error: cuándo la cota falla y cómo mejorarla
Para $\int_0^1x^4\,dx$, calcula Simpson simple, su error exacto y la cota basada en $\max|f^{(4)}|$.
Para $\int_0^1x^4\,dx$, calcula Simpson simple, su error exacto y la cota basada en $\max|f^{(4)}|$.
Se aproxima $\int_0^1\sqrt x\,dx$ mediante trapecios uniformes. Explica por qué la cota clásica con $\max|f''|$ no se aplica y propone un cambio de variable que permita…
Se aproxima $\int_0^1\sqrt x\,dx$ mediante trapecios uniformes. Explica por qué la cota clásica con $\max|f''|$ no se aplica y propone un cambio de variable que permita integrar exactamente con trapecios.
Para integrar $\cos x$ en $[0,\pi/2]$ con Simpson compuesto, usa la cota estándar para hallar el menor número par $n$ que garantice error menor que $10^{-6}$. Puedes…
Para integrar $\cos x$ en $[0,\pi/2]$ con Simpson compuesto, usa la cota estándar para hallar el menor número par $n$ que garantice error menor que $10^{-6}$. Puedes usar $\pi<22/7$.
Vuelve al principio: con datos tabulados obtienes una estimación (trapecios); con una función conocida y derivadas acotadas obtienes además una cota que te dice cuántos nodos usar, y Simpson la mejora de $n^{-2}$ a $n^{-4}$.