Convergencia absoluta, alternancia y cotas
La serie armónica $\sum 1/n$ diverge, pero si alternas los signos, $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$, la suma se estabiliza en $\ln 2 \approx 0{,}693$. ¿Qué cambia al alternar los signos? ¿Cuántos términos necesitas para saber $\ln 2$ con una precisión dada, sin conocer su valor? Este apartado responde a ambas preguntas.
Convergencia absoluta y condicional
Esto da una estrategia: estudia primero $\sum |a_n|$ con los criterios de series positivas. Si converge, has terminado. Si diverge, no concluyes nada todavía: queda ver si hay convergencia condicional.
Clasifica $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n$ como absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.
Clasifica $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n$ como absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.
Clasifica $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/n^2$.
Clasifica $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/n^2$.
Prueba que $\sum_{n=1}^{\infty}\cos(n)/n^2$ converge, aunque sus signos no alternen regularmente.
Prueba que $\sum_{n=1}^{\infty}\cos(n)/n^2$ converge, aunque sus signos no alternen regularmente.
El criterio de Leibniz
Decide si converge $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n n/(n+1)$.
Decide si converge $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n n/(n+1)$.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}n/(n^2+1)$ y justifica la monotonía necesaria.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}n/(n^2+1)$ y justifica la monotonía necesaria.
Para $b_{2k-1}=1/\sqrt k$ y $b_{2k}=1/\sqrt k+1/k$, estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$. Todos los $b_n$ tienden a cero: explica por qué eso no permite aplicar…
Para $b_{2k-1}=1/\sqrt k$ y $b_{2k}=1/\sqrt k+1/k$, estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$. Todos los $b_n$ tienden a cero: explica por qué eso no permite aplicar Leibniz.
Clasificación de series alternadas
Clasifica según $p\in\mathbb R$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n^p$.
Clasifica según $p\in\mathbb R$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n^p$.
Estudia $\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n/\ln n$, indicando si es absoluta o condicional.
Estudia $\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n/\ln n$, indicando si es absoluta o condicional.
Clasifica $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\sin(1/n)$ sin usar la suma exacta.
Clasifica $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\sin(1/n)$ sin usar la suma exacta.
Cotas del error y sumas certificadas
Al aproximar $S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n^3$ con cuatro términos, da una cota del error y determina si la aproximación es por exceso o por defecto. La figura…
Al aproximar $S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n^3$ con cuatro términos, da una cota del error y determina si la aproximación es por exceso o por defecto.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Determina cuántos términos bastan, por la cota de Leibniz, para aproximar $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n^2$ con error como máximo $0,01$.
Determina cuántos términos bastan, por la cota de Leibniz, para aproximar $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n^2$ con error como máximo $0,01$.
Se usa $\ln2=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n$. Construye un intervalo certificado para $\ln2$ con $S_4$ y $S_5$, y calcula su anchura.
Se usa $\ln2=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n$. Construye un intervalo certificado para $\ln2$ con $S_4$ y $S_5$, y calcula su anchura.
Más allá: geométricas alternadas, promedios y reordenación
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/3^n$ y calcula su suma.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/3^n$ y calcula su suma.
Sea $a_n=(-1)^n/n+1/n^2$. Determina si $\sum a_n$ converge y si lo hace absolutamente.
Sea $a_n=(-1)^n/n+1/n^2$. Determina si $\sum a_n$ converge y si lo hace absolutamente.
Sea $S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n$ y $A_N=(S_N+S_{N+1})/2$. Usando que $S$ está entre ambas sumas, da una cota del error de $A_N$. ¿Mejora el factor de la cota…
Sea $S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n$ y $A_N=(S_N+S_{N+1})/2$. Usando que $S$ está entre ambas sumas, da una cota del error de $A_N$. ¿Mejora el factor de la cota usual de $S_N$?
Vuelve al principio: alternar los signos permite que los términos se compensen y que la suma converja aunque $\sum 1/n$ diverja; y, gracias a Leibniz, el error al parar en $S_N$ nunca supera el primer término omitido.