Inmediatas y cambio de variable
Un sensor mide la tasa a la que llega una señal, $q(t)$, y tú quieres saber cuánta señal se ha acumulado. Derivar es pasar de la cantidad a su tasa; aquí hay que hacer el camino inverso. ¿Cuándo se puede deshacer una derivada a simple vista, y cómo se prepara un integrando para que sí se pueda? La respuesta es una tabla corta y una idea: la regla de la cadena leída al revés.
Primitivas y constantes
Fíjate en la hipótesis: intervalo. Si el dominio tiene huecos, como $1/x$ en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, cada trozo conexo admite su propia constante. Y una condición como $F(x_0)=y_0$ fija la constante solo en el intervalo que contiene a $x_0$.
Calcula todas las primitivas de $f(x)=3x^2-4x+2$ y determina la que vale $5$ en $x=0$.
Calcula todas las primitivas de $f(x)=3x^2-4x+2$ y determina la que vale $5$ en $x=0$.
Encuentra una primitiva de $f(x)=e^{3x-1}$ que se anule en $x=1/3$.
Encuentra una primitiva de $f(x)=e^{3x-1}$ que se anule en $x=1/3$.
Tabla de primitivas inmediatas
Un caso importante: $\int \dfrac{dx}{ax+b}=\dfrac1a\ln|ax+b|+C$ en cada intervalo donde $ax+b\ne0$. La función $1/(2x+3)$ no está definida en $x=-3/2$, que parte el dominio en dos intervalos; en cada uno la constante es independiente, y por eso no hay una constante global obligatoria.
Halla las primitivas de $f(x)=1/(2x+3)$ en su dominio real. Explica por qué no hay una única constante global obligatoria.
Halla las primitivas de $f(x)=1/(2x+3)$ en su dominio real. Explica por qué no hay una única constante global obligatoria.
Un sensor registra una tasa $q(t)=2t/(1+t^2)$ en unidades de señal por segundo, con $t$ medido en segundos. Halla la señal acumulada $Q(t)$ si $Q(0)=0$. La figura…
Un sensor registra una tasa $q(t)=2t/(1+t^2)$ en unidades de señal por segundo, con $t$ medido en segundos. Halla la señal acumulada $Q(t)$ si $Q(0)=0$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Cambio de variable
Receta: (1) elige $u$, normalmente lo «de dentro» cuya derivada aparece multiplicando; (2) calcula $du$; (3) reescribe todo el integrando en $u$, sin dejar $x$; (4) integra; (5) deshaz el cambio y, si puedes, comprueba derivando.
Calcula $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ e identifica explícitamente el cambio de variable.
Calcula $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ e identifica explícitamente el cambio de variable.
Calcula $\int x^3\sqrt{1+x^2}\,dx$, mostrando cómo expresas todo el integrando en la nueva variable.
Calcula $\int x^3\sqrt{1+x^2}\,dx$, mostrando cómo expresas todo el integrando en la nueva variable.
Calcula $\int dx/(\sqrt{x}(1+x))$ para $x>0$. Explica por qué $u=\sqrt{x}$ elimina la raíz.
Calcula $\int dx/(\sqrt{x}(1+x))$ para $x>0$. Explica por qué $u=\sqrt{x}$ elimina la raíz.
Logaritmos, valores absolutos y dominios
Casos típicos: $\int\dfrac{2t}{1+t^2}dt=\ln(1+t^2)+C$ (sin valor absoluto, porque $1+t^2>0$); $\int\dfrac{dx}{x\ln x}=\ln|\ln x|+C$, válida en $(0,1)$ y en $(1,\infty)$, pero no en $x=1$ (donde $\ln x=0$) ni para $x\le0$.
Calcula $\int \ln x/x\,dx$ en $x>0$ y elige la primitiva que vale $2$ en $x=1$.
Calcula $\int \ln x/x\,dx$ en $x>0$ y elige la primitiva que vale $2$ en $x=1$.
Obtén $\int dx/(x\ln x)$ y especifica los intervalos máximos reales de validez.
Obtén $\int dx/(x\ln x)$ y especifica los intervalos máximos reales de validez.
Calcula $\int dx/(x\sqrt{\ln x})$ en $x>1$. Determina si alguna primitiva se extiende continuamente a $x=1$ y si esa extensión es derivable allí por la derecha.
Calcula $\int dx/(x\sqrt{\ln x})$ en $x>1$. Determina si alguna primitiva se extiende continuamente a $x=1$ y si esa extensión es derivable allí por la derecha.
Pegar primitivas: continuidad y derivabilidad
Cuando el integrando está definido por trozos, o el dominio tiene puntos excluidos, aparece la pregunta: ¿se pueden elegir las constantes para que la primitiva sea derivable en toda la recta?
Halla una primitiva de $f(x)=\lvert x\rvert$ en toda la recta, con $F(0)=0$, y prueba que es derivable también en $0$. La figura ilustra los datos y relaciones del…
Halla una primitiva de $f(x)=\lvert x\rvert$ en toda la recta, con $F(0)=0$, y prueba que es derivable también en $0$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Decide si existe una primitiva en toda $\mathbb{R}$ de $f(x)=1$ si $x<0$ y $f(x)=2$ si $x\ge0$. Justifica sin limitarte a proponer fórmulas por tramos. La figura ilustra…
Decide si existe una primitiva en toda $\mathbb{R}$ de $f(x)=1$ si $x<0$ y $f(x)=2$ si $x\ge0$. Justifica sin limitarte a proponer fórmulas por tramos.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula las primitivas de $f(x)=2x/\bigl((x^2-1)[1+\ln^2|x^2-1|]\bigr)$ en su dominio. Determina si pueden elegirse las constantes de modo que la primitiva se extienda…
Calcula las primitivas de $f(x)=2x/\bigl((x^2-1)[1+\ln^2|x^2-1|]\bigr)$ en su dominio. Determina si pueden elegirse las constantes de modo que la primitiva se extienda continuamente a toda la recta y valga cero en el origen. Si es posible, decide si esa extensión es derivable en $x=\pm1$.
Sustituciones más finas y familias paramétricas
Hay integrandos con varias raíces de distinto índice o con un parámetro. La idea es la misma: elegir una sustitución que convierta todo en algo inmediato.
Calcula $\int x^2/\sqrt{1-x^3}\,dx$ en $x<1$, justificando el signo introducido por la sustitución.
Calcula $\int x^2/\sqrt{1-x^3}\,dx$ en $x<1$, justificando el signo introducido por la sustitución.
Calcula $\int dx/(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})$ para $x>0$ mediante una sustitución que convierta simultáneamente ambas raíces en potencias enteras. Obtén la primitiva…
Calcula $\int dx/(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})$ para $x>0$ mediante una sustitución que convierta simultáneamente ambas raíces en potencias enteras. Obtén la primitiva normalizada por $F(1)=0$ y comprueba la respuesta por derivación.
La familia $F_a(x)=(x^a-1)/a$ está definida para $x>0$, $a\ne0$. Comprueba que es una primitiva normalizada de $x^{a-1}$ y calcula su límite cuando $a\to0$.
La familia $F_a(x)=(x^a-1)/a$ está definida para $x>0$, $a\ne0$. Comprueba que es una primitiva normalizada de $x^{a-1}$ y calcula su límite cuando $a\to0$.
Vuelve al principio: la señal acumulada es la primitiva de la tasa que cumple la condición inicial; con $q(t)=2t/(1+t^2)$ sale $Q(t)=\ln(1+t^2)$ usando $u=1+t^2$.