Un fabricante de depósitos quiere saber cuánto líquido caben en un recipiente cuya anchura cambia con la altura, y no hay fórmula de geometría elemental para él. La idea es cortar el sólido en láminas finísimas, calcular el volumen de cada una como «área por grosor» y sumar con una integral. ¿Cuándo conviene cortar en discos y cuándo en capas cilíndricas?
Volumen por secciones transversales
¿Por qué? Una lámina entre $x$ y $x+\Delta x$ es casi un prisma de base $A(x)$ y altura $\Delta x$, de volumen $A(x)\Delta x$. Sumando todas y haciendo $\Delta x\to 0$ se obtiene una suma de Riemann que converge a la integral.
Practica★☆☆Sin empezar
Un sólido tiene secciones perpendiculares al eje $x$ que son cuadrados de lado $1-x$ para $0\le x\le1$. Calcula su volumen.
Un sólido tiene secciones perpendiculares al eje $x$ que son cuadrados de lado $1-x$ para $0\le x\le1$. Calcula su volumen.
Un sólido tiene base $0\le y\le\sqrt x$, $0\le x\le1$. Las secciones perpendiculares a $x$ son triángulos equiláteros cuyo lado coincide con la longitud vertical de la…
Un sólido tiene base $0\le y\le\sqrt x$, $0\le x\le1$. Las secciones perpendiculares a $x$ son triángulos equiláteros cuyo lado coincide con la longitud vertical de la base. Calcula el volumen.
Un sólido tiene base $0\le x\le1$, $0\le y\le1-x$. Las secciones perpendiculares a $x$ son semicírculos cuyo diámetro es la longitud vertical de la base. Calcula su…
Un sólido tiene base $0\le x\le1$, $0\le y\le1-x$. Las secciones perpendiculares a $x$ son semicírculos cuyo diámetro es la longitud vertical de la base. Calcula su volumen y detecta el error de tomar esa longitud como radio.
Si la región gira alrededor de un eje, la sección perpendicular a ese eje es un disco (o una corona circular si hay un hueco). Es el caso particular del método anterior con áreas circulares.
¿Por qué? La sección es un disco de área $\pi R^2$; si tiene hueco, se resta el disco interior $\pi r^2$. Se resta el área, no el radio: $\pi(R-r)^2\ne\pi(R^2-r^2)$.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula el volumen al girar la región $0\le y\le x$, $0\le x\le1$, alrededor del eje horizontal.
Calcula el volumen al girar la región $0\le y\le x$, $0\le x\le1$, alrededor del eje horizontal.
Gira la región entre $y=x$ y $y=x^2$ en $[0,1]$ alrededor del eje horizontal. Calcula el volumen y distingue radios de alturas. La figura ilustra los datos y relaciones…
Gira la región entre $y=x$ y $y=x^2$ en $[0,1]$ alrededor del eje horizontal. Calcula el volumen y distingue radios de alturas.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
¿Por qué? Una franja vertical de anchura $dx$ y altura $h$ que gira describe un cilindro hueco de radio $x$. Desenrollado es una lámina de largo $2\pi x$, alto $h$ y grosor $dx$, con volumen $2\pi x\,h\,dx$.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula por capas cilíndricas el volumen al girar $0\le y\le1$, $0\le x\le2$ alrededor del eje vertical.
Calcula por capas cilíndricas el volumen al girar $0\le y\le1$, $0\le x\le2$ alrededor del eje vertical.
Calcula el volumen al girar la región $0\le y\le x^2$, $0\le x\le1$, alrededor de la recta $y=2$. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula el volumen al girar la región $0\le y\le x^2$, $0\le x\le1$, alrededor de la recta $y=2$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Dos situaciones frecuentes: la región se extiende hasta el infinito y el sólido de revolución puede tener volumen finito, o el sólido se describe por el radio de sus secciones como función de la altura.
Practica★★☆Sin empezar
Calcula el volumen de revolución de la región bajo $y=e^{-x}$ para $x\ge0$ alrededor del eje horizontal. Justifica la integral impropia.
Calcula el volumen de revolución de la región bajo $y=e^{-x}$ para $x\ge0$ alrededor del eje horizontal. Justifica la integral impropia.
Un tanque cónico de altura $H$ y radio superior $R$ tiene vértice abajo. Encuentra la altura de líquido que ocupa la mitad de su volumen total. Explica por qué no es…
Un tanque cónico de altura $H$ y radio superior $R$ tiene vértice abajo. Encuentra la altura de líquido que ocupa la mitad de su volumen total. Explica por qué no es $H/2$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Vuelve al principio: para un recipiente de anchura variable se integra el área de las secciones respecto a la altura; discos o arandelas si la franja es perpendicular al eje de giro, y capas si es paralela.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado