Desarrollos de Taylor y representación de funciones
Tu calculadora no «sabe» calcular $\sin(0{,}2)$ ni $e^{0{,}1}$: solo suma, resta, multiplica y divide. Lo que hace es sustituir la función por un polinomio que se le parece muchísimo cerca de un punto. La pregunta del apartado es doble: ¿qué polinomio, o qué serie infinita, hay que usar? Y, sobre todo, ¿cuándo esa serie vale realmente lo mismo que la función?
Serie de Taylor y representación
¿Por qué estos coeficientes? Si $f(x)=\sum c_n(x-a)^n$ en un entorno de $a$, al derivar $n$ veces y evaluar en $a$ solo sobrevive el término $n$-ésimo: $f^{(n)}(a)=n!\,c_n$. Los coeficientes están forzados.
Cuidado con el sentido de la implicación: construir la serie solo exige derivar. Que converja es un asunto de radio de convergencia, y que su suma sea $f$ es otra cuestión distinta.
Practica★☆☆Sin empezar
Escribe los primeros cuatro términos no nulos de la serie de Maclaurin de $e^x$ y su radio de convergencia.
Escribe los primeros cuatro términos no nulos de la serie de Maclaurin de $e^x$ y su radio de convergencia.
Obtén el polinomio de Taylor de grado $3$ de $e^x$ centrado en $x=1$ y explica por qué no es el mismo que su polinomio de Maclaurin. La figura ilustra los datos y…
Obtén el polinomio de Taylor de grado $3$ de $e^x$ centrado en $x=1$ y explica por qué no es el mismo que su polinomio de Maclaurin.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Desarrollos básicos: exponencial, seno, coseno y geométrica
¿Por qué faltan potencias? $\sin x$ es impar, así que todas sus derivadas pares en $0$ son nulas y solo quedan potencias impares; $\cos x$ es par y solo conserva las pares. La geométrica es la suma de una progresión de razón $x$, que converge solo si $|x|<1$, justo donde la función tiene sentido hasta su singularidad en $x=1$.
Practica★☆☆Sin empezar
Desarrolla $1/(1-x)$ como serie de potencias alrededor de cero e indica dónde representa a la función.
Desarrolla $1/(1-x)$ como serie de potencias alrededor de cero e indica dónde representa a la función.
¿Por qué? Es el teorema del valor medio generalizado: el error es «el siguiente término» evaluado en un punto intermedio $\xi$ desconocido, y por eso solo se puede acotar.
Practica★☆☆Sin empezar
Usa los primeros tres términos no nulos de $\sin x$ para aproximar $\sin(0,2)$ y acota el error por el siguiente término. La figura ilustra los datos y relaciones del…
Usa los primeros tres términos no nulos de $\sin x$ para aproximar $\sin(0,2)$ y acota el error por el siguiente término.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
En un modelo relativista se usa $(1-z)^{-1/2}$ con $0\leq z\leq0,01$. Obtén el polinomio de grado $2$ en cero y una cota uniforme del error usando…
En un modelo relativista se usa $(1-z)^{-1/2}$ con $0\leq z\leq0,01$. Obtén el polinomio de grado $2$ en cero y una cota uniforme del error usando $f^{(3)}(z)=15/[8(1-z)^{7/2}]$.
Nuevos desarrollos: sustituir, integrar y multiplicar
Casi nunca se derivan $n$ veces: se parte de los básicos. Una serie de potencias se puede sustituir ($x\to g(x)$), integrar y derivar término a término dentro de su intervalo abierto de convergencia, y multiplicar por otra.
¿Por qué? Es multiplicar «polinomio por polinomio» y agrupar los términos del mismo grado $x^n$; la convergencia absoluta permite reordenar sin cambiar la suma.
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Obtén una serie centrada en cero para $1/(1+2x)$ y su intervalo de representación.
Obtén una serie centrada en cero para $1/(1+2x)$ y su intervalo de representación.
Usa la serie de $\arctan x$ para aproximar $\pi/4=\arctan1$ con error como máximo $0,005$. Determina cuántos términos certifica Leibniz y explica por qué converge…
Usa la serie de $\arctan x$ para aproximar $\pi/4=\arctan1$ con error como máximo $0,005$. Determina cuántos términos certifica Leibniz y explica por qué converge lentamente en ese punto.
Para $f(x)=e^{-1/x^2}$ si $x\ne0$ y $f(0)=0$, se sabe que todas sus derivadas en cero son nulas. Determina su serie de Taylor en cero y explica por qué convergencia de…
Para $f(x)=e^{-1/x^2}$ si $x\ne0$ y $f(0)=0$, se sabe que todas sus derivadas en cero son nulas. Determina su serie de Taylor en cero y explica por qué convergencia de la serie no implica que represente a $f$ cerca de cero.
Vuelve al principio: tu calculadora aproxima con el polinomio de Taylor de la función, y el resto de Lagrange o el criterio de Leibniz le dicen cuántos términos necesita para garantizar los decimales que muestra.
Resumen
¡A practicar! 6 ejercicios de nivel difícil en este apartado