Universidad · Cálculo I
Cálculo integral · Primitivas
Racionales y fracciones simples
Fracciones impropias: primero, dividir Las piezas básicas Descomposición con factores lineales Factores cuadráticos irreducibles Dominios, constantes y integrales definidas Casos completos y parámetros Resumen
Sabes integrar $\int 2x/(x^2+1)\,dx$ con un cambio de variable, pero ¿qué haces con $\int dx/(x(x+1))$ o con $\int dx/(x^3-x)$? Ninguna primitiva inmediata encaja. La idea es descomponer el cociente en piezas pequeñas cuya primitiva sí conoces. Esa descomposición, y los cuidados con los dominios, son el contenido de este apartado.
Fracciones impropias: primero, dividir
Una función racional es $R(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ con $P,Q$ polinomios y $Q\neq 0$. Se llama propia si $\operatorname{gr}P<\operatorname{gr}Q$ e impropia en caso contrario.
Si $\operatorname{gr}P\ge\operatorname{gr}Q$, existen únicos polinomios $C$ (cociente) y $r$ (resto) con $\operatorname{gr}r<\operatorname{gr}Q$ tales que
$$\frac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\frac{r(x)}{Q(x)}.$$
¿Por qué? Es la división euclídea de polinomios, igual que $7/3=2+1/3$. El polinomio $C$ se integra término a término y solo queda una fracción propia.
Esquema del procedimiento: una fracción impropia se divide en un polinomio más una fracción propia, que luego se descompone en fracciones simples.
P/Q impropia
C(x): polinomio
r/Q: propia
fracciones simples
Dividimos: $x^2+1=(x+1)(x-1)+2$, luego $\dfrac{x^2+1}{x+1}=x-1+\dfrac{2}{x+1}$.
Integramos cada pieza: $\int\left(x-1+\dfrac{2}{x+1}\right)dx=\dfrac{x^2}{2}-x+2\ln|x+1|+C$, en cada intervalo de $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.
Hazlo tú con $\int \dfrac{x^3}{x^2+1}\,dx$: divide, y en el resto reconoce una derivada logarítmica.
Siguiente paso (1/3)
$\int \dfrac{P}{Q}\neq \dfrac{\int P}{\int Q}$. Solo puedes separar el numerador cuando el denominador es un monomio, como en $\int\frac{x+1}{x}dx=\int\left(1+\frac1x\right)dx=x+\ln|x|+C$ en $x>0$ o en $x<0$.
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\int (x+1)/x\,dx$ y especifica el dominio. Calcula $\int (x+1)/x\,dx$ y especifica el dominio.
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\int (x^2+1)/(x+1)\,dx$ tras efectuar la división de polinomios. La figura ilustra los datos y relaciones del problema. Calcula $\int (x^2+1)/(x+1)\,dx$ tras efectuar la división de polinomios.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
x
y
−4
−3
−2
1
2
3
4
1
3
5
−1
−3
−5
y = (x² + 1)/(x + 1)
x = −1
y = x − 1
Resolver
★★☆ Sin empezar
Calcula $\int x^3/(x^2+1)\,dx$. Calcula $\int x^3/(x^2+1)\,dx$.
Resolver
Las piezas básicas
Antes de descomponer, hay que saber integrar las piezas en que se descompone.
Para $a\in\mathbb{R}$, $k\ge 2$ y $b>0$, en cada intervalo donde estén definidas:
$$\int\frac{dx}{x-a}=\ln|x-a|+C \qquad \int\frac{dx}{(x-a)^k}=\frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}}+C$$
$$\int\frac{dx}{x^2+b^2}=\frac1b\arctan\frac xb+C \qquad \int\frac{2x\,dx}{x^2+1}=\ln(x^2+1)+C$$
¿Por qué? Se comprueba derivando. La última es de la forma $\int f'/f$, con $f=x^2+1>0$, por lo que no lleva valor absoluto.
Activa JavaScript para usar este interactivo. La gráfica muestra $1/(x^2+a^2)$ y su primitiva $\frac1a\arctan\frac xa$: la primitiva crece más deprisa donde el integrando es mayor.
El denominador no tiene raíces reales: $x^2+2x+5=(x+1)^2+4$. Escribimos el numerador usando la derivada del denominador, $2x+2$: $x+2=\tfrac12(2x+2)+1$.
$\displaystyle\int\frac{x+2}{x^2+2x+5}dx=\frac12\ln(x^2+2x+5)+\int\frac{dx}{(x+1)^2+4}$.
La segunda integral es $\dfrac12\arctan\dfrac{x+1}{2}$. Resultado: $\dfrac12\ln(x^2+2x+5)+\dfrac12\arctan\dfrac{x+1}2+C$, válido en todo $\mathbb{R}$.
Siguiente paso (1/3)
$\int\dfrac{dx}{x^2+4}$ no es $\ln(x^2+4)$: la derivada de ese logaritmo es $\dfrac{2x}{x^2+4}$, que lleva $x$ en el numerador. Con numerador constante y denominador $x^2+b^2$ el resultado es un arcotangente.
Sin calcular nada, decide qué función aparece en $\int\dfrac{2x}{x^2+1}dx$ y en $\int\dfrac{1}{x^2+1}dx$, y por qué.
Ver respuesta En la primera, un logaritmo: el numerador es la derivada del denominador. En la segunda, un arcotangente, porque $(\arctan x)'=\dfrac1{1+x^2}$. Por eso en la primera no hace falta descomponer.
★☆☆ Sin empezar
Halla $\int dx/(x^2+4)$. Resolver
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\int 2x/(x^2+1)\,dx$ y explica por qué aquí no hace falta descomponer en fracciones simples. Calcula $\int 2x/(x^2+1)\,dx$ y explica por qué aquí no hace falta descomponer en fracciones simples.
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\int dx/(x-2)^2$ e indica en qué intervalos se interpreta. Calcula $\int dx/(x-2)^2$ e indica en qué intervalos se interpreta.
Resolver
Descomposición con factores lineales
Sea $\dfrac{P}{Q}$ propia. Si $Q$ factoriza en factores lineales, cada factor $(x-a)^m$ aporta
$$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\dots+\frac{A_m}{(x-a)^m}.$$
La suma de todas las aportaciones es igual a $P/Q$ y los coeficientes son únicos.
¿Por qué? Al reducir a común denominador se obtiene una identidad de polinomios; el número de incógnitas coincide con $\operatorname{gr}Q$, igual que el número de condiciones.
Tabla de correspondencia entre el tipo de factor del denominador y las fracciones simples que genera.
Factor en Q(x)
Fracciones que aporta
(x − a)
A/(x − a)
(x − a)²
A/(x − a) + B/(x − a)²
(x² + bx + c) irreducible
(Ax + B)/(x² + bx + c)
Planteamos $\dfrac{3x+5}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+2}$, es decir, $3x+5=A(x+2)+B(x+1)$.
Sustituyendo valores que anulan factores: $x=-1$ da $2=A$; $x=-2$ da $-1=-B$, así que $B=1$. Comprobación en $x=0$: $5=2\cdot2+1\cdot1$. ✓
$\displaystyle\int=2\ln|x+1|+\ln|x+2|+C$, en cada intervalo de $\mathbb{R}\setminus\{-2,-1\}$.
Con el mismo método calcula $\int_0^1\dfrac{dx}{(x+1)(x+2)}$ y obtén un valor exacto.
Siguiente paso (1/4)
Para $(x-1)^2$ no basta $\dfrac{C}{(x-1)^2}$: hay que incluir también $\dfrac{B}{x-1}$. Sin él, el sistema no tiene solución en general, porque hay menos incógnitas que condiciones.
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\int dx/(x(x+1))$ mediante fracciones simples. Calcula $\int dx/(x(x+1))$ mediante fracciones simples.
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★★☆ Sin empezar
Calcula $\int (3x+5)/((x+1)(x+2))\,dx$. Calcula $\int (3x+5)/((x+1)(x+2))\,dx$.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Calcula $\int dx/(x(x-1)^2)$ y comprueba los coeficientes multiplicando por el denominador. Calcula $\int dx/(x(x-1)^2)$ y comprueba los coeficientes multiplicando por el denominador.
Resolver
Factores cuadráticos irreducibles
Si $x^2+bx+c$ tiene discriminante negativo, aporta $\dfrac{Ax+B}{x^2+bx+c}$. Si aparece elevado a $m$, aporta una fracción así por cada potencia $1,\dots,m$.
¿Por qué? Un factor de grado 2 deja un resto de grado hasta 1, por eso el numerador es $Ax+B$.
Una parábola $x^2+bx+c$ sin raíces reales no corta el eje $x$: eso es lo que impide factorizarla en el cuerpo real. Aquí, $x^2+1$ queda siempre por encima del eje, mientras que $x^2-1$ lo corta en $\pm1$ y sí se descompone.
Dos parábolas: x² + 1, que no corta el eje horizontal y es irreducible, y x² − 1, que lo corta en x = −1 y x = 1 y se factoriza.
x² + 1: sin raíces reales
x² − 1: raíces ±1
Un caso con potencia: la primitiva de $\dfrac1{(x^2+1)^2}$ no sale por descomposición, pero hay un truco. Al derivar $\dfrac{x}{1+x^2}$ se obtiene $\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}=\dfrac{2}{(1+x^2)^2}-\dfrac1{1+x^2}$. Despejando,
$$\int\frac{dx}{(x^2+1)^2}=\frac12\left(\frac{x}{1+x^2}+\arctan x\right)+C.$$
Escribir $\dfrac{B}{x^2+1}$ en vez de $\dfrac{Bx+C}{x^2+1}$ deja el sistema sin solución en muchos casos. El numerador debe tener grado una unidad menos que el denominador de esa fracción.
Para que $\int\dfrac{Ax+B}{x^2+2x+2}dx$ sea solo $k\ln(x^2+2x+2)+C$, ¿qué relación deben cumplir $A$ y $B$?
Ver respuesta El numerador debe ser múltiplo de la derivada del denominador, $2x+2$: $B=A$, y entonces $k=A/2$. Si no, aparece un término $\arctan(x+1)$.
★★☆ Sin empezar
Obtén $\int (x+2)/(x^2+2x+5)\,dx$ completando el cuadrado. Obtén $\int (x+2)/(x^2+2x+5)\,dx$ completando el cuadrado.
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★★☆ Sin empezar
Halla $\int dx/(x(x^2+1))$. Halla $\int dx/(x(x^2+1))$.
Resolver
★★★ Sin empezar
Calcula $\int dx/(x^2+1)^2$ utilizando la identidad que obtienes al derivar $x/(1+x^2)$. Calcula $\int dx/(x^2+1)^2$ utilizando la identidad que obtienes al derivar $x/(1+x^2)$.
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Dominios, constantes y integrales definidas
Una primitiva de $1/x$ no es $\ln|x|+C$ con una constante en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$: ese conjunto tiene dos intervalos y en cada uno la constante puede ser distinta. Lo mismo ocurre en cualquier racional con polos reales.
Gráfica de 1/(x² − 4) con asíntotas verticales en x = −2 y x = 2, que separan tres intervalos de integración independientes.
x = −2
x = 2
Si $R$ es racional y $F'=R$ en cada intervalo del dominio, dos primitivas difieren en una constante por intervalo . La regla de Barrow $\int_a^bR=F(b)-F(a)$ exige que $R$ sea continua en todo $[a,b]$.
$\dfrac1{x^2-4}=\dfrac{1/4}{x-2}-\dfrac{1/4}{x+2}$, luego $F(x)=\dfrac14\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right|+C$ en $(-\infty,-2)$, $(-2,2)$ o $(2,\infty)$.
En $[-3,3]$ el integrando tiene polos en $\pm2$: no es continuo ni acotado ahí, y $F(3)-F(-3)$ no calcula nada con sentido. La integral es impropia y, de hecho, divergente.
Siguiente paso (1/2)
Escribir $\ln(x-2)$ sin valor absoluto restringe sin avisar a $x>2$. Y una sola $C$ en un dominio con varios intervalos describe solo parte de las primitivas.
★★☆ Sin empezar
Calcula $\int_0^1 dx/((x+1)(x+2))$ exactamente. La figura ilustra los datos y relaciones del problema. Calcula $\int_0^1 dx/((x+1)(x+2))$ exactamente.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
x
y
0
1
1/6
1/2
(0, 1/2)
(1, 1/6)
y = 1 / ((x + 1)(x + 2))
Área = ?
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★★☆ Sin empezar
Calcula $\int dx/(x^2-4)$ y explica por qué no puedes evaluar la integral definida en $[-3,3]$ restando valores de esa primitiva. La figura ilustra los datos y… Calcula $\int dx/(x^2-4)$ y explica por qué no puedes evaluar la integral definida en $[-3,3]$ restando valores de esa primitiva.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
x = −2
x = 2
x
y
−3
−1
1
3
1
2
−1
−2
y = 1/(x² − 4)
Intervalo [−3, 3]
Resolver
★★☆ Sin empezar
Descompón $1/(x^2(x+1))$ en fracciones simples e integra en $x>0$. Descompón $1/(x^2(x+1))$ en fracciones simples e integra en $x>0$.
Resolver
Casos completos y parámetros
El procedimiento general reúne todo lo anterior:
Diagrama de flujo con los cuatro pasos para integrar una función racional.
1. Dividir
2. Factorizar Q
3. Descomponer
4. Integrar
Paso 1, división algebraica: $x^4+1=(x^2-1)(x^2+1)+2$, así que $\dfrac{x^4+1}{x^2-1}=x^2+1+\dfrac2{x^2-1}$.
Paso 2-3: la fracción propia restante es $\dfrac2{x^2-1}=\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1}$.
Paso 4: $\displaystyle\int=\frac{x^3}3+x+\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$, en cada intervalo de $\mathbb{R}\setminus\{\pm1\}$.
Siguiente paso (1/3)
La división produce un polinomio más una fracción propia. La descomposición en fracciones simples se aplica solo a esa fracción propia. Hacer descomposición con numerador de grado mayor o igual lleva a un sistema incompatible.
Un compañero escribe $\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=\dfrac A{x-1}+\dfrac B{x+1}$. ¿Por qué no hay valores de $A,B$ que lo cumplan?
Ver respuesta Porque la fracción es impropia (grados iguales). El lado derecho tiende a 0 en el infinito y el izquierdo a 1. Hay que dividir primero: $\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=1+\dfrac2{x^2-1}$.
★★★ Sin empezar
Para $a>0$, calcula $\int_0^1 dx/(x^2+a^2)$ y estudia su límite cuando $a\to0^+$. Para $a>0$, calcula $\int_0^1 dx/(x^2+a^2)$ y estudia su límite cuando $a\to0^+$.
Resolver
★★★ Sin empezar
Calcula $\int dx/(x^3-x)$ y describe las constantes de integración permitidas. Calcula $\int dx/(x^3-x)$ y describe las constantes de integración permitidas.
Resolver
★★★ Sin empezar
Para $a\in\mathbb{R}$, clasifica el tipo de primitiva de $1/(x^2+a)$ y da una fórmula en cada caso, con sus dominios. Para $a\in\mathbb{R}$, clasifica el tipo de primitiva de $1/(x^2+a)$ y da una fórmula en cada caso, con sus dominios.
Resolver
Vuelve al principio: $\int dx/(x(x+1))=\ln|x|-\ln|x+1|+C$ por fracciones simples, y $\int dx/(x^3-x)$ sale factorizando $x(x-1)(x+1)$ y descomponiendo en tres fracciones, con una constante por cada intervalo del dominio.
Resumen
Si $\operatorname{gr}P\ge\operatorname{gr}Q$, divide primero: polinomio más fracción propia.
Factoriza $Q$: cada $(x-a)^m$ da $m$ fracciones $A_k/(x-a)^k$; cada cuadrático irreducible da $(Ax+B)/(x^2+bx+c)$.
Calcula los coeficientes sustituyendo raíces y comparando coeficientes; compruébalos multiplicando por el denominador.
Primitivas básicas: $\ln|x-a|$, potencias negativas, $\frac1b\arctan\frac xb$ y $\ln(x^2+bx+c)$ cuando el numerador es la derivada.
Una primitiva vale en cada intervalo del dominio, con su propia constante; Barrow exige continuidad en todo el intervalo de integración.
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