Para bombear el agua de un depósito no basta multiplicar fuerza por distancia: cada capa de agua sube una altura distinta. Con una barra de densidad variable, tampoco basta multiplicar densidad por longitud. En ambos casos la magnitud cambia de un punto a otro. ¿Cómo se calcula entonces el total? La respuesta es siempre la misma: cortar en trozos pequeños, tratar cada trozo como si fuera constante y sumar con una integral.
Del producto a la integral: el método de los trozos
Muchas magnitudes físicas son un producto: trabajo $=$ fuerza $\cdot$ distancia, masa $=$ densidad $\cdot$ longitud, carga $=$ intensidad $\cdot$ tiempo. Ese producto vale tal cual solo si el factor que multiplica es constante. Si varía, se divide el intervalo en trozos de anchura $dx$, se aproxima el factor por su valor en el trozo y se suman las contribuciones.
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Una barra de $2\ \text{m}$ tiene densidad lineal $\lambda(x)=1+x$ en $\text{kg/m}$, con $x$ medido en metros desde un extremo. Calcula su masa.
Una barra de $2\ \text{m}$ tiene densidad lineal $\lambda(x)=1+x$ en $\text{kg/m}$, con $x$ medido en metros desde un extremo. Calcula su masa.
Un caso clásico es el muelle. La ley de Hooke dice que la fuerza para mantenerlo estirado una longitud $x$ desde su posición natural es $F(x)=kx$. Cuanto más lo estiras, más cuesta seguir estirando.
También hay trabajos en los que la fuerza decae con la distancia, como la atracción gravitatoria $GMm/r^2$. Entonces puede ocurrir que el trabajo hasta infinito sea finito: $\int_R^\infty \frac{dr}{r^2}=\frac1R$ converge.
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Una fuerza $F(x)=3x^2\ \text{N}$ actúa en el sentido positivo sobre un objeto que se mueve de $x=0$ a $x=2\ \text{m}$. Calcula el trabajo; $x$ representa el valor…
Una fuerza $F(x)=3x^2\ \text{N}$ actúa en el sentido positivo sobre un objeto que se mueve de $x=0$ a $x=2\ \text{m}$. Calcula el trabajo; $x$ representa el valor numérico de la posición en metros.
Una fuerza tangencial tiene valor $F(x)=10/(1+x)^2\ \text{N}$, con $x$ en metros. Calcula el trabajo desde $x=0$ hasta $x=3$ y el trabajo límite hasta infinito.
Una fuerza tangencial tiene valor $F(x)=10/(1+x)^2\ \text{N}$, con $x$ en metros. Calcula el trabajo desde $x=0$ hasta $x=3$ y el trabajo límite hasta infinito.
Aquí cada capa tiene su propia distancia. Se corta el depósito en láminas horizontales de grosor $dy$; cada lámina tiene un volumen, un peso y una altura de elevación distintos.
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Un depósito cilíndrico vertical de radio $1\ \text{m}$ y altura $3\ \text{m}$ está lleno de agua de densidad $1000\ \text{kg/m}^3$. Calcula el trabajo para bombear toda…
Un depósito cilíndrico vertical de radio $1\ \text{m}$ y altura $3\ \text{m}$ está lleno de agua de densidad $1000\ \text{kg/m}^3$. Calcula el trabajo para bombear toda el agua hasta el borde superior, usando $g=9,8\ \text{m/s}^2$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Un depósito cónico de altura $2\ \text{m}$ y radio superior $1\ \text{m}$, con vértice abajo, está lleno de agua. Calcula el trabajo para bombearla hasta el borde…
Un depósito cónico de altura $2\ \text{m}$ y radio superior $1\ \text{m}$, con vértice abajo, está lleno de agua. Calcula el trabajo para bombearla hasta el borde superior, con densidad $1000\ \text{kg/m}^3$ y $g=9,8\ \text{m/s}^2$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Una placa vertical rectangular de anchura $2\ \text{m}$ ocupa profundidades de $1$ a $3\ \text{m}$ bajo agua. La presión es $p(h)=\rho gh$, con…
Una placa vertical rectangular de anchura $2\ \text{m}$ ocupa profundidades de $1$ a $3\ \text{m}$ bajo agua. La presión es $p(h)=\rho gh$, con $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$ y $g=9,8\ \text{m/s}^2$. Calcula la fuerza hidrostática total y la profundidad de su centro de presión $h_c=\int h\,dF/\int dF$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
¿Por qué ese cociente? Es la media de las posiciones ponderada por la masa de cada trozo. Si todo estuviera concentrado en $\bar x$, el equilibrio de momentos sería el mismo.
Para una lámina homogénea bajo una curva $y=f(x)\ge0$ en $[a,b]$, con área $A$, el centroide es
$$\bar x=\frac1A\int_a^b x f(x)\,dx,\qquad \bar y=\frac1{2A}\int_a^b f(x)^2\,dx.$$
Para la región entre $f\le g$: $\bar x=\frac1A\int x(g-f)\,dx$ y $\bar y=\frac1{2A}\int(g^2-f^2)\,dx$. El factor $\tfrac12 f^2$ viene de que cada tira vertical tiene su centro a altura $f/2$ y área $f\,dx$.
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Una barra ocupa $0\le x\le2\ \text{m}$ y tiene densidad $\lambda(x)=1+x$ en $\text{kg/m}$. Calcula su centro de masas con $\bar x=\int x\lambda(x)dx/\int\lambda(x)dx$.…
Una barra ocupa $0\le x\le2\ \text{m}$ y tiene densidad $\lambda(x)=1+x$ en $\text{kg/m}$. Calcula su centro de masas con $\bar x=\int x\lambda(x)dx/\int\lambda(x)dx$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Una lámina homogénea ocupa $0\le x\le1$, $0\le y\le x^2$, en metros. Calcula su centroide usando $\bar x=\int x f(x)dx/A$ y $\bar y=\int f(x)^2dx/(2A)$.
Una lámina homogénea ocupa $0\le x\le1$, $0\le y\le x^2$, en metros. Calcula su centroide usando $\bar x=\int x f(x)dx/A$ y $\bar y=\int f(x)^2dx/(2A)$.
Una lámina homogénea está limitada por $y=x$ y $y=x^2$ en $[0,1]$. Calcula su centroide usando $A=\int(g-f)$, $\bar x=A^{-1}\int x(g-f)$, $\bar y=(2A)^{-1}\int(g^2-f^2)$.
Una lámina homogénea está limitada por $y=x$ y $y=x^2$ en $[0,1]$. Calcula su centroide usando $A=\int(g-f)$, $\bar x=A^{-1}\int x(g-f)$, $\bar y=(2A)^{-1}\int(g^2-f^2)$.
Aplicaciones directas: temperatura media, caudal medio ($\bar q=\tfrac1T\int q\,dt$) y velocidad media. Para una velocidad $v(t)$ hay que distinguir dos cosas: el desplazamiento $\int v\,dt$ (con signo) y la distancia recorrida $\int|v|\,dt$.
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Calcula el valor medio temporal de $T(t)=20+6t$ grados Celsius durante $0\le t\le2$ horas.
Calcula el valor medio temporal de $T(t)=20+6t$ grados Celsius durante $0\le t\le2$ horas.
Calcula el valor eficaz de $I(t)=I_0\sin(\omega t)$ en un periodo, con $I_0>0$, $\omega>0$, usando $I_{\mathrm{ef}}=\sqrt{T^{-1}\int_0^TI(t)^2dt}$ y $T=2\pi/\omega$.
Calcula el valor eficaz de $I(t)=I_0\sin(\omega t)$ en un periodo, con $I_0>0$, $\omega>0$, usando $I_{\mathrm{ef}}=\sqrt{T^{-1}\int_0^TI(t)^2dt}$ y $T=2\pi/\omega$.
Vuelve al principio: el agua de un depósito o una barra con densidad variable se tratan igual. Se corta en trozos, se escribe la contribución de cada uno y se integra; la distancia de cada capa o su posición dentro de la barra son los que hacen que el resultado no sea un simple producto.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado