Geométricas, telescópicas y sumas
Una pelota rebota infinitas veces y, sin embargo, se detiene en un tiempo finito y recorre una distancia finita. ¿Cómo puede una suma de infinitos términos positivos dar un número concreto? En este apartado aprenderás los tres casos en los que no solo se puede decidir la convergencia, sino calcular la suma exacta: la serie geométrica, la telescópica y las que se reducen a ellas.
Sumas parciales y suma de una serie
Sumar infinitos términos no es una operación algebraica: se define mediante un límite. Todo el apartado descansa en esta idea, así que conviene fijarla bien.
La estrategia es siempre la misma: encontrar una fórmula cerrada para $S_N$ y pasar al límite. Las series de este apartado son aquellas donde esa fórmula se puede obtener.
Halla $S_N=\sum_{n=1}^N1/[n(n+1)]$ y la suma infinita.
Halla $S_N=\sum_{n=1}^N1/[n(n+1)]$ y la suma infinita.
Series geométricas
Una serie geométrica es aquella donde cada término se obtiene del anterior multiplicando por una razón fija $r$. Es la base de casi todo lo demás.
La gráfica muestra $S_N$ en función de $N$ (tratada como continua): con $|r|<1$ se estabiliza en $1/(1-r)$; si $r<0$ oscila alrededor de ese valor.
Calcula $\sum_{n=0}^{\infty}4(1/3)^n$ y justifica la convergencia.
Calcula $\sum_{n=0}^{\infty}4(1/3)^n$ y justifica la convergencia.
Expresa el decimal periódico $0,272727\ldots$ como serie geométrica y como fracción irreducible.
Expresa el decimal periódico $0,272727\ldots$ como serie geométrica y como fracción irreducible.
Determina para qué $r\in\mathbb R$ converge $\sum_{n=0}^{\infty}(r-1)^n$ y expresa la suma en función de $r$.
Determina para qué $r\in\mathbb R$ converge $\sum_{n=0}^{\infty}(r-1)^n$ y expresa la suma en función de $r$.
Modelos con geométricas: rebotes y ecos
Muchos fenómenos con «pérdida proporcional» se modelan con series geométricas: la altura de rebote, la amplitud de ecos o la energía que se disipa en cada ciclo.
Una pelota cae desde $2$ metros y cada rebote alcanza la mitad de la altura anterior. Suponiendo infinitos rebotes, calcula la distancia vertical total recorrida. La…
Una pelota cae desde $2$ metros y cada rebote alcanza la mitad de la altura anterior. Suponiendo infinitos rebotes, calcula la distancia vertical total recorrida.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Una red transmite una señal de amplitud inicial $A$. Los ecos tienen amplitudes $A/4,-A/16,A/64,\ldots$. Calcula la amplitud total superpuesta incluyendo la señal…
Una red transmite una señal de amplitud inicial $A$. Los ecos tienen amplitudes $A/4,-A/16,A/64,\ldots$. Calcula la amplitud total superpuesta incluyendo la señal inicial, suponiendo superposición lineal.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Series telescópicas
Aquí los términos se cancelan por parejas al sumar. No hay razón constante, pero sí una estructura que colapsa $S_N$ a unos pocos términos.
Calcula $\sum_{n=1}^{\infty}1/[n(n+2)]$ mediante fracciones simples.
Calcula $\sum_{n=1}^{\infty}1/[n(n+2)]$ mediante fracciones simples.
Halla la suma de $\sum_{n=1}^{\infty}\ln[(n+1)^2/(n(n+2))]$ usando productos telescópicos.
Halla la suma de $\sum_{n=1}^{\infty}\ln[(n+1)^2/(n(n+2))]$ usando productos telescópicos.
Una persona cancela formalmente términos de $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)$ y afirma que la suma es $-1$. Usa las sumas parciales para corregir el razonamiento…
Una persona cancela formalmente términos de $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)$ y afirma que la suma es $-1$. Usa las sumas parciales para corregir el razonamiento y compara con $\sum_{n=1}^{\infty}(1/\sqrt n-1/\sqrt{n+1})$.
Series aritmético-geométricas y sumas más complejas
Cuando el término es un polinomio en $n$ por $r^n$, el truco de «multiplicar por $r$ y restar» reduce el grado hasta llegar a una geométrica. También las telescópicas pueden requerir tres factores o descomposiciones más largas.
Para $|r|<1$, deduce $\sum_{n=1}^{\infty}nr^n$ multiplicando la serie por $r$ y restando. Indica por qué las operaciones son legítimas.
Para $|r|<1$, deduce $\sum_{n=1}^{\infty}nr^n$ multiplicando la serie por $r$ y restando. Indica por qué las operaciones son legítimas.
Calcula $\sum_{n=1}^{\infty}(1/\sqrt n-1/\sqrt{n+1})$ y determina el número mínimo de términos para que el error sea como máximo $0,01$.
Calcula $\sum_{n=1}^{\infty}(1/\sqrt n-1/\sqrt{n+1})$ y determina el número mínimo de términos para que el error sea como máximo $0,01$.
Calcula $\sum_{n=1}^{\infty}1/[n(n+1)(n+2)]$ sin integrar ni utilizar una tabla de sumas.
Calcula $\sum_{n=1}^{\infty}1/[n(n+1)(n+2)]$ sin integrar ni utilizar una tabla de sumas.
Energía acumulada y restos
En aplicaciones interesa no solo la suma total, sino cuánto queda por sumar tras $N$ términos: el resto $R_N=S-S_N$.
Sabiendo que $\sum_{n=1}^{\infty}n r^n=r/(1-r)^2$ para $|r|<1$, deduce por multiplicación y resta una fórmula para $\sum_{n=1}^{\infty}n^2r^n$ y evalúala en $r=1/2$.
Sabiendo que $\sum_{n=1}^{\infty}n r^n=r/(1-r)^2$ para $|r|<1$, deduce por multiplicación y resta una fórmula para $\sum_{n=1}^{\infty}n^2r^n$ y evalúala en $r=1/2$.
La energía depositada en el pulso $n\geq1$ es $E_n=nE_0q^{n-1}$, $E_0>0$, $0<q<1$. Calcula la energía total y demuestra que la energía pendiente tras $N$ pulsos es…
La energía depositada en el pulso $n\geq1$ es $E_n=nE_0q^{n-1}$, $E_0>0$, $0