Un ingeniero tiene que cortar una chapa para fabricar un cable de perfil curvo, o forrar un depósito con forma de superficie de revolución. Para ello necesita saber cuánto mide una curva y cuánta área tiene la superficie que genera al girar. Las reglas de medir segmentos no sirven directamente: ¿cómo se mide algo que se curva en cada punto? Y una pregunta más extraña: ¿puede una superficie tener área infinita aunque lo que encierra tenga volumen finito?
Longitud de una curva y = f(x)
La idea es aproximar la curva por una poligonal. Cada tramo pequeño de anchura $\Delta x$ se sustituye por su cuerda, de longitud $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$. Al refinar la partición, la suma de cuerdas converge a una integral.
¿Por qué? Por el teorema del valor medio, en cada tramo $\Delta y_i=f'(\xi_i)\Delta x_i$, y la cuerda mide $\sqrt{1+f'(\xi_i)^2}\,\Delta x_i$. La suma de esos términos es una suma de Riemann de $\sqrt{1+f'^2}$.
La dificultad práctica es que la raíz rara vez tiene primitiva sencilla. Los problemas solubles a mano son aquellos en los que $1+(f')^2$ es un cuadrado perfecto.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula la longitud de la recta $y=2x+1$ entre $x=0$ y $x=3$ mediante $L=\int_a^b\sqrt{1+(y')^2}\,dx$ y comprueba por distancia entre extremos.
Calcula la longitud de la recta $y=2x+1$ entre $x=0$ y $x=3$ mediante $L=\int_a^b\sqrt{1+(y')^2}\,dx$ y comprueba por distancia entre extremos.
Hay dos situaciones que conviene reconocer. La primera: $1+(y')^2$ ya es un cuadrado. La segunda: la función está construida para que lo sea, como las curvas del tipo $y=\dfrac{x^2}{4}-\dfrac12\ln x$.
Practica★★☆Sin empezar
Calcula la longitud de $y=(e^x+e^{-x})/2$ en $[0,\ln2]$ sin introducir funciones hiperbólicas.
Calcula la longitud de $y=(e^x+e^{-x})/2$ en $[0,\ln2]$ sin introducir funciones hiperbólicas.
Muchas curvas (círculos, trayectorias) no son gráficas de funciones. Se describen como $(x(t),y(t))$ y se mide la longitud sumando la distancia recorrida: rapidez por tiempo.
¿Por qué? En un instante $dt$ el punto avanza $dx=x'\,dt$ y $dy=y'\,dt$, y el trozo mide $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$. Es la misma fórmula cartesiana con otro parámetro; de hecho si $t=x$ se recupera $\sqrt{1+y'^2}$.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula la longitud del arco parametrizado por $x(t)=3\cos t$, $y(t)=3\sin t$, $0\le t\le\pi/2$, usando $L=\int\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$. La figura ilustra los datos y…
Calcula la longitud del arco parametrizado por $x(t)=3\cos t$, $y(t)=3\sin t$, $0\le t\le\pi/2$, usando $L=\int\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Una trayectoria está parametrizada por $x(t)=t^2$, $y(t)=\frac23t^3$ para $0\le t\le1$. Calcula su longitud y explica por qué la rapidez se simplifica sin valor absoluto…
Una trayectoria está parametrizada por $x(t)=t^2$, $y(t)=\frac23t^3$ para $0\le t\le1$. Calcula su longitud y explica por qué la rapidez se simplifica sin valor absoluto en ese intervalo.
Una curva parametrizada por $x(t)=\cos t$, $y(t)=\sin t$, $0\le t\le4\pi$, recorre una circunferencia. Compara la integral de la rapidez con la longitud geométrica de la…
Una curva parametrizada por $x(t)=\cos t$, $y(t)=\sin t$, $0\le t\le4\pi$, recorre una circunferencia. Compara la integral de la rapidez con la longitud geométrica de la imagen y explica la multiplicidad.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Si giras la gráfica de $y=f(x)\ge0$ alrededor del eje $x$, cada trocito de curva de longitud $ds$ barre una banda de radio $y$: su área es aproximadamente $2\pi y\,ds$ (circunferencia por anchura).
Practica★☆☆Sin empezar
La curva $y=2$, $0\le x\le3$, gira alrededor del eje horizontal. Calcula el área de la superficie lateral con $S=2\pi\int y\sqrt{1+(y')^2}\,dx$.
La curva $y=2$, $0\le x\le3$, gira alrededor del eje horizontal. Calcula el área de la superficie lateral con $S=2\pi\int y\sqrt{1+(y')^2}\,dx$.
La curva $y=x$, $0\le x\le2$, gira alrededor del eje horizontal. Calcula el área lateral de la superficie y contrástala con la fórmula de un cono. La figura ilustra los…
La curva $y=x$, $0\le x\le2$, gira alrededor del eje horizontal. Calcula el área lateral de la superficie y contrástala con la fórmula de un cono.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Gira $y=1/x$, $x\ge1$, alrededor del eje $x$. Es la «trompeta de Gabriel». El volumen es $V=\pi\int_1^\infty\dfrac{dx}{x^2}=\pi$, finito. Pero el área lateral sí diverge.
Practica★★★Sin empezar
La curva $y=1/x$ para $x\ge1$ gira alrededor del eje horizontal. Prueba que su superficie lateral tiene área infinita, aunque el volumen encerrado sea finito.
La curva $y=1/x$ para $x\ge1$ gira alrededor del eje horizontal. Prueba que su superficie lateral tiene área infinita, aunque el volumen encerrado sea finito.
Calcula el área de la esfera de radio $R$ como superficie de revolución del semicírculo $y=\sqrt{R^2-x^2}$ en $[-R,R]$. Explica cómo interpretas los extremos donde $y'$…
Calcula el área de la esfera de radio $R$ como superficie de revolución del semicírculo $y=\sqrt{R^2-x^2}$ en $[-R,R]$. Explica cómo interpretas los extremos donde $y'$ no es finita.
Vuelve al principio: la longitud de una curva se mide con $\int\sqrt{1+y'^2}\,dx$ (o con la rapidez, en paramétricas), el área de revolución con $2\pi\int y\,ds$, y sí, una superficie puede tener área infinita encerrando un volumen finito.
¡A practicar! 6 ejercicios de nivel medio en este apartado