Resto de Taylor y cotas de error
Tu calculadora te da $\sin(0{,}1)$ con diez cifras, pero ¿cómo lo hace? Sustituye la función por un polinomio. Calcular es fácil; lo valioso es poder afirmar «el error es menor que $10^{-6}$» sin conocer el valor exacto. Eso es lo que te da el resto de Taylor: una garantía, no una estimación a ojo.
El resto y la fórmula de Lagrange
Aproxima $\sen(0,1)$ por $0,1$ y da una cota del error usando Taylor de grado $2$ en cero. La figura ilustra la separación entre la función y la aproximación lineal.
Aproxima $\sen(0,1)$ por $0,1$ y da una cota del error usando Taylor de grado $2$ en cero.
La figura ilustra la separación entre la función y la aproximación lineal.
Aproxima $\cos(0,2)$ mediante $1-(0,2)^2/2$ y da una cota de error con Taylor de grado $3$.
Aproxima $\cos(0,2)$ mediante $1-(0,2)^2/2$ y da una cota de error con Taylor de grado $3$.
Si $|f'''(x)|\le12$ en $[a-0,1,a+0,1]$, ¿qué cota uniforme tiene el error del Taylor de grado $2$ centrado en $a$? Supón regularidad suficiente para Lagrange.
Si $|f'''(x)|\le12$ en $[a-0,1,a+0,1]$, ¿qué cota uniforme tiene el error del Taylor de grado $2$ centrado en $a$? Supón regularidad suficiente para Lagrange.
Acotar el error en un valor concreto
Aproxima $e^{0,1}$ por $1+0,1+(0,1)^2/2$ y acota el error suponiendo $e^{0,1}<1,106$.
Aproxima $e^{0,1}$ por $1+0,1+(0,1)^2/2$ y acota el error suponiendo $e^{0,1}<1,106$.
Aproxima $\sqrt{1,04}$ con el Taylor cuadrático de $\sqrt{1+x}$ en cero y acota el error usando $f'''(x)=3/[8(1+x)^{5/2}]$. La figura señala el intervalo utilizado para…
Aproxima $\sqrt{1,04}$ con el Taylor cuadrático de $\sqrt{1+x}$ en cero y acota el error usando $f'''(x)=3/[8(1+x)^{5/2}]$.
La figura señala el intervalo utilizado para controlar el resto.
Para $0\le x\le0,2$, acota uniformemente el error de $\ln(1+x)\approx x-x^2/2$ mediante el resto de Lagrange.
Para $0\le x\le0,2$, acota uniformemente el error de $\ln(1+x)\approx x-x^2/2$ mediante el resto de Lagrange.
Elegir el grado o el radio necesarios
Ahora el problema es el inverso: fijas el error tolerado $\varepsilon$ y buscas cuánta aproximación hace falta. Hay dos palancas: subir el grado $n$ o acercarte al centro (reducir $|x-a|$).
¿Qué grado mínimo $n$ garantiza error menor que $10^{-4}$ al aproximar $e^{0,5}$ por Maclaurin si se usa la cota $|R_n|\le2(0,5)^{n+1}/(n+1)!$?
¿Qué grado mínimo $n$ garantiza error menor que $10^{-4}$ al aproximar $e^{0,5}$ por Maclaurin si se usa la cota $|R_n|\le2(0,5)^{n+1}/(n+1)!$?
Determina un radio $r>0$ que garantice error a lo sumo $10^{-3}$ en $\sen x\approx x-x^3/6$ para $|x|\le r$, usando el resto de grado $4$.
Determina un radio $r>0$ que garantice error a lo sumo $10^{-3}$ en $\sen x\approx x-x^3/6$ para $|x|\le r$, usando el resto de grado $4$.
Determina el menor grado de Maclaurin que garantiza error menor que $10^{-6}$ para $\cos x$ en $[-1/2,1/2]$, usando el resto de Lagrange y la paridad para aprovechar…
Determina el menor grado de Maclaurin que garantiza error menor que $10^{-6}$ para $\cos x$ en $[-1/2,1/2]$, usando el resto de Lagrange y la paridad para aprovechar coeficientes nulos.
Garantías para funciones y desigualdades
El resto no solo acota números: da intervalos de valores para funciones de las que solo conoces datos en un punto, y permite demostrar desigualdades por el signo de $R_n$.
Una función $f\in C^2([0,2])$ satisface $f(1)=3$, $f'(1)=-2$ y $|f''|\le4$. Obtén un intervalo garantizado para $f(1,2)$.
Una función $f\in C^2([0,2])$ satisface $f(1)=3$, $f'(1)=-2$ y $|f''|\le4$. Obtén un intervalo garantizado para $f(1,2)$.
Justifica mediante el resto de Taylor que $e^x>1+x+x^2/2$ para $x>0$ y que la desigualdad se invierte para $x<0$.
Justifica mediante el resto de Taylor que $e^x>1+x+x^2/2$ para $x>0$ y que la desigualdad se invierte para $x<0$.
Resto exacto, límites del método y diferencias finitas
En $|x|\le1/2$, aproxima $1/(1-x)$ por $P_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k$. Obtén el resto exacto y el menor $n$ que garantiza error uniforme menor que $10^{-3}$.
En $|x|\le1/2$, aproxima $1/(1-x)$ por $P_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k$. Obtén el resto exacto y el menor $n$ que garantiza error uniforme menor que $10^{-3}$.
Sea $f(x)=e^{-1/x^2}$ si $x\ne0$, con $f(0)=0$. Admitiendo que todas sus derivadas en cero son nulas, explica por qué sus polinomios de Taylor no convergen a $f(x)$ para…
Sea $f(x)=e^{-1/x^2}$ si $x\ne0$, con $f(0)=0$. Admitiendo que todas sus derivadas en cero son nulas, explica por qué sus polinomios de Taylor no convergen a $f(x)$ para ningún $x\ne0$, y qué hipótesis adicional sobre los restos permitiría esa convergencia.
Sea $f\in C^3([-h,h])$ con $h>0$ y $|f'''|\le M$. Demuestra que la diferencia central $[f(h)-f(-h)]/(2h)$ aproxima $f'(0)$ con error a lo sumo $Mh^2/6$, y compara con…
Sea $f\in C^3([-h,h])$ con $h>0$ y $|f'''|\le M$. Demuestra que la diferencia central $[f(h)-f(-h)]/(2h)$ aproxima $f'(0)$ con error a lo sumo $Mh^2/6$, y compara con una diferencia unilateral bajo una cota $|f''|\le K$.
El esquema ilustra las secantes central y unilateral; no añade hipótesis sobre la función.
Vuelve al principio: la calculadora aproxima $\sin(0{,}1)$ con un polinomio, y el resto de Lagrange asegura que el error es menor que $1{,}7\cdot10^{-4}$ con grado $2$, y todavía menor con más términos.