Discontinuidades y parámetros
Un modelo de fuerza sube linealmente durante dos segundos y luego decae exponencialmente. Si las dos fórmulas no coinciden en $t=2$, el modelo predice un salto instantáneo de fuerza, algo físicamente absurdo. ¿Cómo se detecta un salto, qué tipos de ruptura existen y cómo se elige un parámetro para eliminarla?
Continuidad en un punto
Intuitivamente: puedes dibujar la gráfica cerca de $a$ sin levantar el lápiz. Formalmente, para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(a)|<\varepsilon$.
Estudia la continuidad en $0$ de $f(x)=x+1$ si $x<0$ y $f(x)=x^2$ si $x\geq0$. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Estudia la continuidad en $0$ de $f(x)=x+1$ si $x<0$ y $f(x)=x^2$ si $x\geq0$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Indica el conjunto de continuidad de $f(x)=\ln(x^2-1)$ como función real y justifica la respuesta mediante composición.
Indica el conjunto de continuidad de $f(x)=\ln(x^2-1)$ como función real y justifica la respuesta mediante composición.
Estudia la continuidad de $f(x)=|x-2|$ en $2$ sin recurrir a derivadas.
Estudia la continuidad de $f(x)=|x-2|$ en $2$ sin recurrir a derivadas.
Clasificación de discontinuidades
Clasifica la discontinuidad en $2$ de $f(x)=(x^2-4)/(x-2)$ y prolonga la función para hacerla continua.
Clasifica la discontinuidad en $2$ de $f(x)=(x^2-4)/(x-2)$ y prolonga la función para hacerla continua.
¿Puede asignarse un valor a $f(0)$ para hacer continua $f(x)=1/x^2$? Justifica.
¿Puede asignarse un valor a $f(0)$ para hacer continua $f(x)=1/x^2$? Justifica.
Sea $f(x)=\lfloor x\rfloor$, donde $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero no superior a $x$. Localiza y clasifica todas sus discontinuidades.
Sea $f(x)=\lfloor x\rfloor$, donde $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero no superior a $x$. Localiza y clasifica todas sus discontinuidades.
Funciones definidas a trozos y parámetros
Para que una función a trozos sea continua en un punto de unión $a$, hace falta
$$f(a^-)=f(a^+)=f(a).$$Cada punto de unión aporta una ecuación; con ella se despejan los parámetros. Dentro de cada trozo la continuidad la dan las propiedades de álgebra y composición.
Determina $a$ para que $f(x)=\sin x/x$ si $x\neq0$ y $f(0)=a$ sea continua.
Determina $a$ para que $f(x)=\sin x/x$ si $x\neq0$ y $f(0)=a$ sea continua.
Determina $a,b$ para que $f(x)=x^2$ si $x\leq1$, $ax+b$ si $1<x<3$, y $2x+1$ si $x\geq3$ sea continua en todo $\mathbb R$.
Determina $a,b$ para que $f(x)=x^2$ si $x\leq1$, $ax+b$ si $1
Un modelo de fuerza usa $F(t)=kt$ para $0\leq t\leq2$ y $F(t)=12e^{-(t-2)}$ para $t>2$, en newtons y segundos. Elige $k$ para evitar un salto de fuerza e indica sus…
Un modelo de fuerza usa $F(t)=kt$ para $0\leq t\leq2$ y $F(t)=12e^{-(t-2)}$ para $t>2$, en newtons y segundos. Elige $k$ para evitar un salto de fuerza e indica sus unidades.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Oscilaciones, acotación y límites con parámetro
Estudia la continuidad en $0$ de $f(x)=x\sin(1/x)$ si $x\neq0$, $f(0)=0$.
Estudia la continuidad en $0$ de $f(x)=x\sin(1/x)$ si $x\neq0$, $f(0)=0$.
Prueba que el producto de una función continua que se anula en $a$ y una función acotada cerca de $a$ tiene límite cero, aunque la segunda no sea continua.
Prueba que el producto de una función continua que se anula en $a$ y una función acotada cerca de $a$ tiene límite cero, aunque la segunda no sea continua.
Para $p\in\mathbb R$, estudia cuándo $f_p(x)=x^p\sin(1/x)$ en $x>0$ admite prolongación continua a $0$.
Para $p\in\mathbb R$, estudia cuándo $f_p(x)=x^p\sin(1/x)$ en $x>0$ admite prolongación continua a $0$.
Argumentos de continuidad más finos
Estudia si puede prolongarse continuamente $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$ en $1$. Si no, explica qué condiciones de continuidad fallan.
Estudia si puede prolongarse continuamente $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$ en $1$. Si no, explica qué condiciones de continuidad fallan.
Sean $f,g$ continuas. Demuestra que $\max(f,g)$ y $\min(f,g)$ son continuas sin usar derivadas.
Sean $f,g$ continuas. Demuestra que $\max(f,g)$ y $\min(f,g)$ son continuas sin usar derivadas.
Sea $f$ continua en $a$ y $f(a)\neq0$. Demuestra que $1/f$ está definida y es continua en algún entorno de $a$, dando una cota que evite dividir por cero.
Sea $f$ continua en $a$ y $f(a)\neq0$. Demuestra que $1/f$ está definida y es continua en algún entorno de $a$, dando una cota que evite dividir por cero.
Vuelve al principio: eliges $k=6$ N/s porque $F(2^-)=2k$ debe igualar $F(2^+)=12$; así desaparece el salto de fuerza.