Un sensor mide la temperatura de un horno y su modelo da una fórmula $f(x)$ que no está definida justo en $x=a$. ¿Tiene sentido decir qué valor «debería» tomar $f$ en $a$? ¿Y si la fórmula se dispara hacia infinito, o da saltos? El límite responde a esa pregunta sin evaluar nunca en $a$: describe lo que ocurre cerca de $a$, no en $a$. En este apartado lo hacemos preciso con la definición $\varepsilon$–$\delta$ y lo usamos para describir el comportamiento de una función en los extremos del dominio y en sus puntos conflictivos.
La definición ε–δ
La idea intuitiva es «$f(x)$ se acerca a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$». Para que sea un enunciado verificable, se traduce en un juego: alguien fija una tolerancia $\varepsilon$ en la salida y tú debes garantizar esa precisión controlando la entrada con una tolerancia $\delta$.
El «$0<$» excluye $x=a$: el valor $f(a)$, si existe, no interviene. Por eso el límite puede existir aunque $f$ no esté definida en $a$, o aunque $f(a)$ valga otra cosa.
¿Por qué así? «Tan cerca como quieras» se vuelve «para todo $\varepsilon$». «Basta con estar suficientemente cerca de $a$» se vuelve «existe $\delta$». El orden de los cuantificadores importa: $\delta$ depende de $\varepsilon$ (y de $a$), nunca al revés.
Practica★☆☆Sin empezar
Sea $f(x)=2$ si $x\neq1$ y $f(1)=7$. Calcula $\lim_{x\to1}f(x)$ y explica qué papel tiene $f(1)$. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Sea $f(x)=2$ si $x\neq1$ y $f(1)=7$. Calcula $\lim_{x\to1}f(x)$ y explica qué papel tiene $f(1)$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
A veces la función se comporta distinto según te acerques por la izquierda o por la derecha.
Esta es la gráfica de $|x|/x$: vale $-1$ para $x<0$ y $1$ para $x>0$. Los límites laterales existen pero son distintos, así que el límite bilateral no existe.
Otra forma de probar que un límite no existe es con sucesiones: si $x_n\to a$ y $x_n'\to a$ (con $x_n,x_n'\neq a$) pero $f(x_n)$ y $f(x_n')$ tienden a valores distintos, entonces $\lim_{x\to a}f(x)$ no existe. Si existiera, ambas sucesiones de imágenes tendrían que converger al mismo $L$.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula los límites laterales en $0$ de $f(x)=|x|/x$ y decide si existe el límite bilateral.
Calcula los límites laterales en $0$ de $f(x)=|x|/x$ y decide si existe el límite bilateral.
Calcula $\lim_{x\to0}x\sin(1/x)$ y justifica por qué la oscilación del seno no impide ese límite. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula $\lim_{x\to0}x\sin(1/x)$ y justifica por qué la oscilación del seno no impide ese límite.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Las asíntotas son las rectas a las que se pega la gráfica en el infinito o junto a un punto conflictivo. Se leen directamente de los límites anteriores.
Practica★☆☆Sin empezar
Halla las asíntotas verticales y horizontales de $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$ y los límites laterales en la asíntota vertical.
Halla las asíntotas verticales y horizontales de $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$ y los límites laterales en la asíntota vertical.
Encuentra todos los $a,b$ para que $f(x)=\frac{ax^2+bx+1}{x-1}$ tenga una discontinuidad evitable en $1$ y asíntota oblicua $y=2x+1$. Justifica si las dos exigencias son…
Encuentra todos los $a,b$ para que $f(x)=\frac{ax^2+bx+1}{x-1}$ tenga una discontinuidad evitable en $1$ y asíntota oblicua $y=2x+1$. Justifica si las dos exigencias son compatibles.
Cuando $f$ no es lineal, $|f(x)-L|$ lleva factores que dependen de $x$, y hay que acotarlos. La estrategia es acotar primero $\delta\le\delta_0$ para controlar esos factores y después exigir la condición final.
Con $1/x$ el mismo patrón obliga a alejarse de $0$, porque $|1/x-1/a|=\dfrac{|x-a|}{|x||a|}$ y $1/|x|$ no está acotado cerca de $0$: hay que elegir $\delta$ lo bastante pequeño para que $|x|$ quede por encima de $|a|/2$.
Practica★★★Sin empezar
Prueba directamente que $\lim_{x\to2}1/x=1/2$ e indica por qué debes alejarte de $x=0$ al elegir $\delta$.
Prueba directamente que $\lim_{x\to2}1/x=1/2$ e indica por qué debes alejarte de $x=0$ al elegir $\delta$.
Construye dos funciones sin límite en $0$ cuya suma sí tenga límite, y otras dos sin límite en $0$ cuyo producto sí tenga límite. Justifica tus ejemplos.
Construye dos funciones sin límite en $0$ cuya suma sí tenga límite, y otras dos sin límite en $0$ cuyo producto sí tenga límite. Justifica tus ejemplos.
Vuelve al principio: el valor que «debería» tomar el modelo del horno en $a$ es el límite, que se define por cercanía y no depende de $f(a)$; si los laterales discrepan o la función se dispara, la respuesta honesta es que no hay límite finito, y eso se traduce en saltos o asíntotas verticales.
¡A practicar! 6 ejercicios de nivel medio en este apartado