Universidad · Cálculo I
Cálculo integral · Primitivas
Integración trigonométrica y sustituciones
Potencias de seno y coseno Tangente, producto de ángulos y fórmulas de reducción Sustituciones trigonométricas La sustitución $t=\tan(x/2)$ Comparar primitivas distintas Resumen
Quieres calcular el área bajo un arco de circunferencia, $\int\sqrt{1-x^2}\,dx$, o integrar una señal como $\sin^2 x\cos^3 x$. Ninguna primitiva inmediata funciona y el cambio de variable obvio tampoco. Sin embargo, una identidad trigonométrica bien escogida convierte cada una de estas integrales en algo que sí sabes resolver. ¿Cómo se elige la identidad y cuándo es legítimo usarla?
Potencias de seno y coseno
Para $\int\sin^m x\cos^n x\,dx$ la decisión depende de la paridad de los exponentes. La idea: si uno de ellos es impar, sacas un factor que será la derivada del otro, y el resto se escribe con $\sin^2x+\cos^2x=1$.
Si $n$ es impar: separa $\cos x\,dx$, escribe $\cos^2x=1-\sin^2x$ y sustituye $u=\sin x$.
Si $m$ es impar: separa $\sin x\,dx$, escribe $\sin^2x=1-\cos^2x$ y sustituye $u=\cos x$.
Si ambos son pares: rebaja el grado con $\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$, $\cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$, $\sin x\cos x=\dfrac{\sin 2x}{2}$.
¿Por qué? Un factor impar deja un $\cos x\,dx=du$ (o $\sin x\,dx=-du$) y el resto es un polinomio en $u$. Con ambos pares no hay tal factor, y por eso se reduce el grado con ángulo doble.
Gráficas de seno al cuadrado y coseno al cuadrado, que oscilan entre 0 y 1 alrededor del valor medio un medio.
sen²x
cos²x
1/2
El dibujo explica el resultado: ambas funciones oscilan alrededor de $\tfrac12$, de modo que $\int\cos^2x\,dx=\tfrac{x}{2}+\dots$ crece como $x/2$ más una oscilación.
El exponente de $\sin$ es impar: separamos un factor, $\sin^3x=\sin^2x\cdot\sin x=(1-\cos^2x)\sin x$.
Con $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$: $\int(1-u^2)(-du)=-u+\dfrac{u^3}{3}+C$.
Deshaz el cambio y comprueba derivando.
Resultado: $-\cos x+\dfrac{\cos^3x}{3}+C$. Al derivar: $\sin x-\cos^2x\sin x=\sin^3x$.
Siguiente paso (1/4)
Ambos pares: $\sin^2x\cos^2x=\left(\dfrac{\sin2x}{2}\right)^2=\dfrac{\sin^22x}{4}$.
Rebajamos otra vez: $\dfrac{\sin^22x}{4}=\dfrac{1-\cos4x}{8}$.
Integra término a término.
$\displaystyle\int\frac{1-\cos4x}{8}dx=\frac{x}{8}-\frac{\sin4x}{32}+C$.
Siguiente paso (1/4)
La regla de la potencia $\int u^n\,du$ exige que aparezca $u'$ multiplicando. Aquí no hay $-\sin x$: al derivar $\cos^3x/3$ obtienes $-\cos^2x\sin x$, que no es $\cos^2x$. Lo correcto es rebajar el grado: $\int\cos^2x\,dx=\frac x2+\frac{\sin2x}{4}+C$.
Para $\int\sin^4x\cos^5x\,dx$, ¿qué factor separas y qué cambio haces?
Ver respuesta El exponente de coseno es impar: separas $\cos x\,dx$, escribes $\cos^4x=(1-\sin^2x)^2$ y haces $u=\sin x$. Queda $\int u^4(1-u^2)^2\,du$, un polinomio.
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\int\sin^3x\,dx$ separando un factor seno. Calcula $\int\sin^3x\,dx$ separando un factor seno.
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\int\cos^2x\,dx$ y explica por qué $\cos^3x/3$ no es una respuesta válida. Calcula $\int\cos^2x\,dx$ y explica por qué $\cos^3x/3$ no es una respuesta válida.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Calcula $\int\sin^2x\cos^3x\,dx$ indicando la sustitución elegida. Calcula $\int\sin^2x\cos^3x\,dx$ indicando la sustitución elegida.
Resolver
Tangente, producto de ángulos y fórmulas de reducción
La tangente se integra como cociente: $\int\tan x\,dx=-\int\dfrac{(\cos x)'}{\cos x}dx=-\ln|\cos x|+C$, válido en cada intervalo donde $\cos x\ne0$, por ejemplo $(-\pi/2,\pi/2)$, donde $\cos x>0$ y el valor absoluto sobra.
Para productos de ángulos distintos se pasa a sumas.
$$\sin a\cos b=\tfrac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$$
$$\sin a\sin b=\tfrac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]\qquad\cos a\cos b=\tfrac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]$$
Salen de desarrollar $\sin(a\pm b)$ y $\cos(a\pm b)$ y sumar o restar. Cada sumando es un seno o coseno de un solo ángulo, inmediato de integrar.
Sea $I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx$. Integrando por partes con $u=\sin^{n-1}x$, $dv=\sin x\,dx$ se obtiene, para $n\ge2$,
$$I_n=\frac{n-1}{n}\,I_{n-2},\qquad I_0=\frac\pi2,\ I_1=1.$$
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Mirando el interactivo, ¿qué pasa con el área bajo $\sin^nx$ en $[0,\pi/2]$ al subir $n$, y qué dice la fórmula?
Ver respuesta Disminuye, porque $0\le\sin x\le1$ y elevar a más potencia reduce la función. La fórmula lo confirma: $I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}
★☆☆ Sin empezar
Halla $\int\tan x\,dx$ en $(-\pi/2,\pi/2)$. Halla $\int\tan x\,dx$ en $(-\pi/2,\pi/2)$.
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx$. Calcula $\int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx$.
Resolver
★★★ Sin empezar
Sea $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$. Demuestra $I_n=(n-1)I_{n-2}/n$ para $n\ge2$ y calcula $I_6$. Sea $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$. Demuestra $I_n=(n-1)I_{n-2}/n$ para $n\ge2$ y calcula $I_6$.
Resolver
Sustituciones trigonométricas
Si aparece $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$ o $\sqrt{x^2-a^2}$, un triángulo rectángulo convierte la raíz en una función trigonométrica, porque Pitágoras la ha dibujado.
Triángulo rectángulo con hipotenusa a, cateto x y cateto raíz de a cuadrado menos x cuadrado, con el ángulo theta frente a x.
x
√(a² − x²)
a
θ
$\sqrt{a^2-x^2}$: $x=a\sin\theta$, $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$, y $\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta$.
$\sqrt{a^2+x^2}$: $x=a\tan\theta$, $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$, y $\sqrt{a^2+x^2}=a\sec\theta$.
$\sqrt{x^2-a^2}$: $x=a\sec\theta$, con $\theta\in[0,\pi/2)$ si $x\ge a$ y $\theta\in(\pi/2,\pi]$ si $x\le-a$, y $\sqrt{x^2-a^2}=a|\tan\theta|$.
¿Por qué ese intervalo? Para que $\sin,\tan$ o $\sec$ sean invertibles y la raíz, siempre positiva, coincida con $a\cos\theta$, $a\sec\theta$ o $a\tan\theta$ sin valor absoluto.
Con $x=\sin\theta$: $\int\cos^2\theta\,d\theta=\dfrac\theta2+\dfrac{\sin2\theta}{4}+C=\dfrac\theta2+\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{2}+C$.
Volvemos: $\sin\theta=x$, $\cos\theta=\sqrt{1-x^2}$ (positivo en el intervalo), $\theta=\arcsin x$.
$\displaystyle\int\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{\arcsin x+x\sqrt{1-x^2}}{2}+C$. Entre $-1$ y $1$ da $\pi/2$: el área de un semicírculo unidad.
Siguiente paso (1/3)
Si escribes $\sqrt{\cos^2\theta}=\cos\theta$ sin comprobar el signo, puedes cometer un error de signo. Solo es cierto si $\cos\theta\ge0$, que es lo que garantiza elegir $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$. Elegir el intervalo no es un detalle: es lo que hace correcta la sustitución.
Para $\int\dfrac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}$ con $x>1$, ¿qué cambio haces y cuánto vale la raíz?
Ver respuesta $x=\sec\theta$ con $\theta\in(0,\pi/2)$, donde $\tan\theta>0$; así $\sqrt{x^2-1}=\tan\theta$. La integral se reduce a $\int\cos\theta\,d\theta=\sin\theta+C=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}+C$.
★★☆ Sin empezar
Calcula $\int dx/\sqrt{4-x^2}$ para $-2<x<2$ usando $x=2\sin\theta$ con un intervalo apropiado para $\theta$. La figura ilustra los datos y relaciones del problema. Calcula $\int dx/\sqrt{4-x^2}$ para $-2
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
x
y
−2
−1
0
2
2
x
√(4 − x²)
2
θ
P(x, y)
y = √(4 − x²)
Resolver
★★☆ Sin empezar
Calcula $\int dx/(x^2\sqrt{x^2-1})$ para $x>1$ mediante $x=1/\cos\theta$. La figura ilustra los datos y relaciones del problema. Calcula $\int dx/(x^2\sqrt{x^2-1})$ para $x>1$ mediante $x=1/\cos\theta$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
θ
1
√(x² − 1)
x
(x > 1)
Resolver
★★☆ Sin empezar
Calcula $\int\sqrt{1-x^2}\,dx$ en $(-1,1)$ con una sustitución trigonométrica. La figura ilustra los datos y relaciones del problema. Calcula $\int\sqrt{1-x^2}\,dx$ en $(-1,1)$ con una sustitución trigonométrica.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
x
y
−1
0
x
1
1
y = √(1 − x²)
Resolver
★★★ Sin empezar
Calcula $\int\sqrt{x^2+1}\,dx$ usando $x=\tan\theta$ o integración por partes, y comprueba que tu logaritmo tiene argumento positivo en toda la recta. Calcula $\int\sqrt{x^2+1}\,dx$ usando $x=\tan\theta$ o integración por partes, y comprueba que tu logaritmo tiene argumento positivo en toda la recta.
Resolver
La sustitución $t=\tan(x/2)$
Cuando el integrando es una función racional de $\sin x$ y $\cos x$ que no cede a los métodos anteriores, hay un cambio universal que la convierte en una fracción racional ordinaria.
Para $x\in(-\pi,\pi)$, $t=\tan(x/2)$ es una biyección con $\mathbb R$ y
$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}.$$
Se deducen de $\sin x=2\sin\frac x2\cos\frac x2$ y $\cos x=\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2$, dividiendo entre $\cos^2\frac x2$.
Límite de validez: $\tan(x/2)$ no está definida en $x=\pm\pi$, así que el cambio se aplica en cada intervalo $(-\pi+2k\pi,\pi+2k\pi)$.
Gráfica de la tangente de x medios en el intervalo menos pi a pi, con asíntotas verticales en los extremos.
−π
π
t = tan(x/2)
Sustituimos: $2+\cos x=\dfrac{2(1+t^2)+1-t^2}{1+t^2}=\dfrac{3+t^2}{1+t^2}$, así que $\dfrac{dx}{2+\cos x}=\dfrac{2\,dt}{3+t^2}$.
$\displaystyle\int\frac{2\,dt}{3+t^2}=\frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{t}{\sqrt3}+C$.
Escribe el resultado en $x$.
$\dfrac{2}{\sqrt3}\arctan\!\left(\dfrac{\tan(x/2)}{\sqrt3}\right)+C$ en $(-\pi,\pi)$. En $x=\pm\pi$ la fórmula no está definida, aunque el integrando es continuo en toda la recta; en otros intervalos hay que sumar constantes para pegar primitivas.
Siguiente paso (1/4)
Multiplicando por el conjugado: $\dfrac{1}{1+\sin x}=\dfrac{1-\sin x}{\cos^2x}=\sec^2x-\sec x\tan x$.
Una primitiva es $\tan x-\sec x=\dfrac{\sin x-1}{\cos x}$, que sí presenta singularidad aparente en $x=\pi/2$.
Reescribe la primitiva para evitarla.
$\dfrac{\sin x-1}{\cos x}=\dfrac{-\cos x}{1+\sin x}$, porque $(\sin x-1)(1+\sin x)=-\cos^2x$. La primitiva $-\dfrac{\cos x}{1+\sin x}+C$ es continua en $(-\pi/2,3\pi/2)$, ya que $1+\sin x>0$ allí.
Siguiente paso (1/4)
Si tu fórmula contiene $\tan x$ o $\tan(x/2)$, es posible que tenga un salto donde la función no está definida, aunque el integrando sea continuo. Antes de dar la respuesta, comprueba que la expresión es derivable en todo el intervalo pedido o reescríbela.
En $\int\frac{dx}{2+\cos x}$, ¿por qué el cambio $t=\tan(x/2)$ obliga a trabajar en $(-\pi,\pi)$?
Ver respuesta Porque $\tan(x/2)$ tiene una asíntota en $x=\pm\pi$ y no es biyectiva en un intervalo mayor. En $(-\pi,\pi)$ cada $x$ da un único $t\in\mathbb R$ y el cambio es válido.
★★☆ Sin empezar
Halla $\int dx/(1+\sin x)$ en $(-\pi/2,3\pi/2)$. Da una expresión que no introduzca una singularidad artificial en $x=\pi/2$. Halla $\int dx/(1+\sin x)$ en $(-\pi/2,3\pi/2)$. Da una expresión que no introduzca una singularidad artificial en $x=\pi/2$.
Resolver
★★★ Sin empezar
Calcula $\int dx/(2+\cos x)$ en $(-\pi,\pi)$ con $t=\tan(x/2)$. Especifica por qué limitas el intervalo. Calcula $\int dx/(2+\cos x)$ en $(-\pi,\pi)$ con $t=\tan(x/2)$. Especifica por qué limitas el intervalo.
Resolver
Comparar primitivas distintas
Dos métodos correctos pueden dar expresiones de aspecto muy distinto. No hay contradicción: dos primitivas de la misma función en un intervalo difieren en una constante.
Si $F$ y $G$ son derivables en un intervalo $I$ y $F'=G'$ en $I$, entonces $F-G$ es constante en $I$. Para comprobar que coinciden basta evaluar $F-G$ en un solo punto, o derivar ambas, sin desarrollar nada.
¿Por qué? Es consecuencia del teorema del valor medio: $(F-G)'=0$ implica $F-G$ constante.
Producto a suma: $\sin3x\cos2x=\tfrac12(\sin5x+\sin x)$, luego $F(x)=-\dfrac{\cos5x}{10}-\dfrac{\cos x}{2}$.
Segunda vía: $\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$ y $\cos2x=1-2\sin^2x$. Con ello se integra un polinomio en $\sin x$ por la regla de la paridad, y el resultado $G$ queda en potencias de $\cos x$.
Para compararlas sin expandir, ¿qué haces?
Evalúas $F-G$ en un punto, por ejemplo $x=0$: $F(0)=-\frac1{10}-\frac12=-\frac35$. Si $G$ se calcula en el mismo punto, la diferencia es la constante que las separa. Con derivar ambas y comprobar que dan $\sin3x\cos2x$ basta para validarlas.
Siguiente paso (1/4)
Dos curvas primitivas de la misma función, idénticas en forma y separadas por una distancia vertical constante.
constante
F
G = F + C
No implica error. Un ejemplo: $\sin^2x$ y $-\cos^2x$ son primitivas de $2\sin x\cos x$ y difieren en $1$. Verifica derivando o evaluando la diferencia en un punto antes de descartar tu solución.
★★☆ Sin empezar
Obtén $\int\sin^2x\cos^2x\,dx$. Obtén $\int\sin^2x\cos^2x\,dx$.
Resolver
★★★ Sin empezar
Calcula $\int\sin(3x)\cos(2x)\,dx$ de dos formas: producto a suma y expresión de $\sin(3x)$ mediante $\sin x$. Explica cómo comparar las primitivas sin expandirlas por… Calcula $\int\sin(3x)\cos(2x)\,dx$ de dos formas: producto a suma y expresión de $\sin(3x)$ mediante $\sin x$. Explica cómo comparar las primitivas sin expandirlas por completo.
Resolver
Vuelve al principio: $\int\sqrt{1-x^2}\,dx$ se resuelve con $x=\sin\theta$, y $\int\sin^2x\cos^3x\,dx$ con $u=\sin x$, porque el exponente impar del coseno regala el $du$.
Resumen
En $\int\sin^mx\cos^nx\,dx$: exponente impar, separa un factor y sustituye; ambos pares, usa ángulo doble.
Producto de senos y cosenos de ángulos distintos: pásalo a suma. Para $\int\sin^n$ definida, usa $I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$.
Raíces: $\sqrt{a^2-x^2}\to x=a\sin\theta$, $\sqrt{a^2+x^2}\to x=a\tan\theta$, $\sqrt{x^2-a^2}\to x=a\sec\theta$, eligiendo el intervalo de $\theta$ que fija el signo de la raíz.
$t=\tan(x/2)$ racionaliza cualquier función racional de $\sin x,\cos x$, pero solo en $(-\pi,\pi)$ y sus traslaciones.
Dos primitivas válidas difieren en una constante: compara derivando o evaluando en un punto.
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