Regla de L’Hôpital y límites
Quieres saber a qué se parece $\dfrac{\sin x}{x}$ cuando $x$ se acerca a $0$: numerador y denominador tienden a cero y el cociente $0/0$ no dice nada. Las tablas numéricas sugieren $1$, pero ¿cómo se demuestra y cómo se hace con límites más duros? La idea es comparar con qué rapidez tienden a cero (o a infinito) numerador y denominador, y esa rapidez la miden las derivadas.
La regla en las formas 0/0 e ∞/∞
Si $f(x)\to 0$ y $g(x)\to 0$, el cociente depende de cuál de las dos se anula «más deprisa». Cerca de $a$, una función que se anula en $a$ se comporta como su recta tangente: $f(x)\approx f'(a)(x-a)$ y $g(x)\approx g'(a)(x-a)$. El cociente se parece entonces a $f'(a)/g'(a)$.
Calcula $\lim_{x\to0}(e^x-1)/x$ con L’Hôpital y comprueba la forma indeterminada.
Calcula $\lim_{x\to0}(e^x-1)/x$ con L’Hôpital y comprueba la forma indeterminada.
Calcula $\lim_{x\to\infty}\ln x/x$ justificando L’Hôpital.
Calcula $\lim_{x\to\infty}\ln x/x$ justificando L’Hôpital.
Calcula $\lim_{x\to0}(1-\cos x)/x^2$. La figura representa geométricamente el numerador para ángulos positivos pequeños.
Calcula $\lim_{x\to0}(1-\cos x)/x^2$.
La figura representa geométricamente el numerador para ángulos positivos pequeños.
Condiciones y cuándo falla
La regla es una implicación en un solo sentido: si existe el límite de $f'/g'$, entonces existe el de $f/g$. Lo contrario no es cierto: puede existir el de $f/g$ y no el de $f'/g'$.
Calcula $\lim_{x\to1}\ln x/(x-1)$ y explica por qué no se puede aplicar L’Hôpital directamente a $\ln x/(x+1)$ en el mismo punto.
Calcula $\lim_{x\to1}\ln x/(x-1)$ y explica por qué no se puede aplicar L’Hôpital directamente a $\ln x/(x+1)$ en el mismo punto.
El cociente $(x+\sen x)/x$ tiene límite en $+\infty$. Calcúlalo y explica qué ocurre al intentar aplicar L’Hôpital.
El cociente $(x+\sen x)/x$ tiene límite en $+\infty$. Calcúlalo y explica qué ocurre al intentar aplicar L’Hôpital.
Otras indeterminaciones: $0\cdot\infty$ e $\infty-\infty$
L’Hôpital solo actúa sobre cocientes. Las demás formas se transforman primero en $0/0$ o $\infty/\infty$.
Calcula $\lim_{x\to0^+}x\ln x$ transformándolo en cociente. Para valores entre cero y uno, la figura representa el valor absoluto del producto como un área.
Calcula $\lim_{x\to0^+}x\ln x$ transformándolo en cociente.
Para valores entre cero y uno, la figura representa el valor absoluto del producto como un área.
Calcula $\lim_{x\to0}(1/x-1/\sen x)$.
Calcula $\lim_{x\to0}(1/x-1/\sen x)$.
Calcula $\lim_{x\to0}(\tan x-x)/x^3$ con L’Hôpital. La figura compara un arco de la circunferencia unidad con el segmento de tangente asociado.
Calcula $\lim_{x\to0}(\tan x-x)/x^3$ con L’Hôpital.
La figura compara un arco de la circunferencia unidad con el segmento de tangente asociado.
Formas exponenciales: $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$
Cuando la indeterminación está en $f(x)^{g(x)}$ (con $f>0$), se usa $f^g=e^{g\ln f}$. Basta calcular el límite del exponente $g\ln f$, que suele ser de la forma $0\cdot\infty$, y luego aplicar la exponencial.
Calcula $\lim_{x\to\infty}(1+2/x)^x$.
Calcula $\lim_{x\to\infty}(1+2/x)^x$.
Calcula $\lim_{x\to0}(\cos x)^{1/x^2}$ usando logaritmos y L’Hôpital.
Calcula $\lim_{x\to0}(\cos x)^{1/x^2}$ usando logaritmos y L’Hôpital.
Aplicaciones: parámetros, órdenes de contacto y resto de límites
Aplicar la regla varias veces tiene sentido mientras la forma sea indeterminada. La clave es saber cuántas derivadas hacen falta: tantas como el orden con que se anula el denominador. Un cociente $f/x^n$ con $f\to0$ necesita $n$ derivadas para que el denominador deje de anularse.
Determina $a$ para que $\lim_{x\to0}(e^{ax}-1-2x)/x^2$ sea finito y calcula ese límite.
Determina $a$ para que $\lim_{x\to0}(e^{ax}-1-2x)/x^2$ sea finito y calcula ese límite.
Calcula $\lim_{x\to0}(\ln(1+x)-x+x^2/2)/x^3$, indicando por qué bastan tres aplicaciones de L’Hôpital.
Calcula $\lim_{x\to0}(\ln(1+x)-x+x^2/2)/x^3$, indicando por qué bastan tres aplicaciones de L’Hôpital.
Calcula $\lim_{x\to\infty}x[\ln(x+1)-\ln x]-1$ y, después, $\lim_{x\to\infty}x\{x[\ln(x+1)-\ln x]-1\}$.
Calcula $\lim_{x\to\infty}x[\ln(x+1)-\ln x]-1$ y, después, $\lim_{x\to\infty}x\{x[\ln(x+1)-\ln x]-1\}$.
Vuelve al principio: $\dfrac{\sin x}{x}$ es $0/0$; derivando, $\dfrac{\cos x}{1}\to1$. El límite es $1$, y ahora sabes por qué.