Bolzano, Weierstrass y bisección
Un termostato registra 12 °C a las 0:00 y 27 °C a las 5:00. Nadie midió qué pasó entre medias, pero ¿puedes asegurar que en algún instante hubo exactamente 20 °C? Y si una ecuación como $x^3+x-1=0$ no se puede resolver con fórmulas, ¿cómo saber que tiene solución y cómo calcularla con la precisión que quieras? Este apartado responde a las dos preguntas con teoremas de existencia y con un algoritmo que los convierte en cálculo.
Teorema de Bolzano y valor intermedio
La idea es geométrica: una gráfica continua no se puede «saltar» el eje $x$. Si empieza por debajo y termina por encima, tiene que cruzarlo.
Con esto contestamos al termostato: $T$ continua, $T(0)=12<20<27=T(5)$, luego hay un instante con 20 °C. Pero podría haber pasado por 20 °C varias veces: los datos no aseguran un único instante.
Justifica que $x^3+x-1=0$ tiene alguna raíz en $(0,1)$ usando Bolzano.
Justifica que $x^3+x-1=0$ tiene alguna raíz en $(0,1)$ usando Bolzano.
Una magnitud continua pasa de $T(0)=12$ a $T(5)=27$. Justifica que toma el valor 20, e indica si estos datos permiten asegurar un único instante.
Una magnitud continua pasa de $T(0)=12$ a $T(5)=27$. Justifica que toma el valor 20, e indica si estos datos permiten asegurar un único instante.
Para $f(x)=x^4-4x+1$, justifica la existencia de al menos dos raíces reales mediante intervalos disjuntos con extremos enteros.
Para $f(x)=x^4-4x+1$, justifica la existencia de al menos dos raíces reales mediante intervalos disjuntos con extremos enteros.
Aplicaciones: puntos fijos, signo y unicidad
Bolzano es una herramienta de existencia. El truco habitual es fabricar una función auxiliar cuya raíz sea lo que buscas.
Demuestra que $\cos x=x$ tiene una raíz en $(0,1)$ y que es única en ese intervalo sin usar derivadas.
Demuestra que $\cos x=x$ tiene una raíz en $(0,1)$ y que es única en ese intervalo sin usar derivadas.
Prueba que toda función continua $f:[0,1]\to[0,1]$ tiene un punto fijo. La figura muestra un ejemplo; la demostración debe servir para cualquier función que cumpla las…
Prueba que toda función continua $f:[0,1]\to[0,1]$ tiene un punto fijo.
La figura muestra un ejemplo; la demostración debe servir para cualquier función que cumpla las hipótesis.
Una función continua $f$ en $[a,b]$ nunca vale cero. Prueba que mantiene el mismo signo en todo el intervalo.
Una función continua $f$ en $[a,b]$ nunca vale cero. Prueba que mantiene el mismo signo en todo el intervalo.
Teorema de Weierstrass
Ahora la pregunta es otra: ¿una función continua alcanza realmente su valor más alto y más bajo?
Cada hipótesis cuenta, como muestran estos tres casos.
¿Garantiza Weierstrass un máximo y un mínimo para $f(x)=1/x$ en $(0,1]$? Determina los extremos existentes.
¿Garantiza Weierstrass un máximo y un mínimo para $f(x)=1/x$ en $(0,1]$? Determina los extremos existentes.
Da un ejemplo de función continua y acotada en un intervalo abierto que no alcance ni su supremo ni su ínfimo. Explica por qué no contradice Weierstrass.
Da un ejemplo de función continua y acotada en un intervalo abierto que no alcance ni su supremo ni su ínfimo. Explica por qué no contradice Weierstrass.
Bisección: de la existencia al cálculo
La demostración de Bolzano se convierte en algoritmo: parte el intervalo por la mitad y quédate con la mitad donde sigue habiendo cambio de signo.
Realiza dos pasos de bisección para $f(x)=x^2-2$ desde $[1,2]$. Indica el intervalo final que contiene una raíz. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Realiza dos pasos de bisección para $f(x)=x^2-2$ desde $[1,2]$. Indica el intervalo final que contiene una raíz.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Para $f(x)=x^3-2$, parte de $[1,2]$. ¿Cuántas bisecciones bastan para que la longitud del intervalo sea como máximo $10^{-3}$? Si tomas su punto medio, ¿qué error máximo…
Para $f(x)=x^3-2$, parte de $[1,2]$. ¿Cuántas bisecciones bastan para que la longitud del intervalo sea como máximo $10^{-3}$? Si tomas su punto medio, ¿qué error máximo garantizas?
Consecuencias más finas
Combinando Bolzano y Weierstrass salen resultados que parecen de otra familia.
Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continua y supón $f(x)\to+\infty$ cuando $x\to\pm\infty$. Demuestra que alcanza un mínimo global.
Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continua y supón $f(x)\to+\infty$ cuando $x\to\pm\infty$. Demuestra que alcanza un mínimo global.
Una función continua $f:[0,2]\to\mathbb R$ cumple $f(0)=f(2)$. Demuestra que existe $c\in[0,1]$ con $f(c)=f(c+1)$.
Una función continua $f:[0,2]\to\mathbb R$ cumple $f(0)=f(2)$. Demuestra que existe $c\in[0,1]$ con $f(c)=f(c+1)$.
Demuestra que si $f$ es continua y estrictamente creciente en $[a,b]$, entonces su inversa en $[f(a),f(b)]$ es continua. Puedes razonar con imágenes de puntos a ambos…
Demuestra que si $f$ es continua y estrictamente creciente en $[a,b]$, entonces su inversa en $[f(a),f(b)]$ es continua. Puedes razonar con imágenes de puntos a ambos lados.
Sean $f,g$ continuas en $[0,1]$ y $f(x)<g(x)$ para todo $x$. Demuestra que existe $\eta>0$ tal que $g(x)-f(x)\geq\eta$ en todo el intervalo. Muestra que podría fallar en…
Sean $f,g$ continuas en $[0,1]$ y $f(x)0$ tal que $g(x)-f(x)\geq\eta$ en todo el intervalo. Muestra que podría fallar en $(0,1)$.
Vuelve al principio: el termostato pasa por 20 °C por el teorema del valor intermedio (continuidad y $12<20<27$), y $x^3+x-1=0$ tiene raíz por Bolzano, que la bisección puede aproximar con la precisión deseada.