Monotonía, extremos, convexidad y gráficas
Un sensor registra la temperatura de un procesador a lo largo de una prueba de carga. Quieres saber en qué momento alcanza su máximo, cuándo empieza a subir más despacio aunque siga subiendo y cómo sería la curva completa sin tener ningún dato más. Con la derivada primera y la segunda puedes responder a las tres preguntas sin dibujar punto a punto.
Monotonía: el signo de la derivada
Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)=x^3-3x$ y clasifica sus extremos locales.
Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)=x^3-3x$ y clasifica sus extremos locales.
Estudia el signo de $f'(x)$ para $f(x)=xe^{-x}$ y determina su máximo absoluto en $[0,\infty)$.
Estudia el signo de $f'(x)$ para $f(x)=xe^{-x}$ y determina su máximo absoluto en $[0,\infty)$.
Estudia monotonía, extremos e inflexiones de $f(x)=x/(1+x^2)$.
Estudia monotonía, extremos e inflexiones de $f(x)=x/(1+x^2)$.
Extremos locales y criterios
¿Es $x=0$ un extremo de $f(x)=x^4$? ¿Y de $g(x)=x^3$? Justifica por signos de derivadas.
¿Es $x=0$ un extremo de $f(x)=x^4$? ¿Y de $g(x)=x^3$? Justifica por signos de derivadas.
Para $f(x)=x^4-2ax^2$, con $a\in\mathbb R$, clasifica sus extremos según $a$.
Para $f(x)=x^4-2ax^2$, con $a\in\mathbb R$, clasifica sus extremos según $a$.
Para $a>0$, clasifica los extremos de $f_a(x)=x-a\arctan x$ en función de $a$, y estudia el caso frontera.
Para $a>0$, clasifica los extremos de $f_a(x)=x-a\arctan x$ en función de $a$, y estudia el caso frontera.
Extremos absolutos en un intervalo
Calcula los extremos absolutos de $f(x)=x^2-2x$ en $[-1,3]$. La figura delimita el tramo de curva considerado; los valores críticos deben justificarse analíticamente.
Calcula los extremos absolutos de $f(x)=x^2-2x$ en $[-1,3]$.
La figura delimita el tramo de curva considerado; los valores críticos deben justificarse analíticamente.
Determina extremos absolutos de $f(x)=x^{2/3}(2-x)$ en $[0,3]$, interpretando $x^{2/3}$ como potencia real no negativa.
Determina extremos absolutos de $f(x)=x^{2/3}(2-x)$ en $[0,3]$, interpretando $x^{2/3}$ como potencia real no negativa.
Para $f(x)=|x^2-4x+3|$ en $[0,4]$, encuentra todos los extremos locales interiores y absolutos.
Para $f(x)=|x^2-4x+3|$ en $[0,4]$, encuentra todos los extremos locales interiores y absolutos.
Convexidad e inflexión
Determina los intervalos de convexidad y los puntos de inflexión de $f(x)=x^3-6x^2$.
Determina los intervalos de convexidad y los puntos de inflexión de $f(x)=x^3-6x^2$.
Halla extremos y puntos de inflexión de $f(x)=\ln x$ en $x>0$.
Halla extremos y puntos de inflexión de $f(x)=\ln x$ en $x>0$.
Una función satisface $f'(x)=(x-1)^2(x+2)$ y $f(0)=0$. Obtén $f$, clasifica los puntos estacionarios y localiza sus inflexiones. La figura representa la derivada dada,…
Una función satisface $f'(x)=(x-1)^2(x+2)$ y $f(0)=0$. Obtén $f$, clasifica los puntos estacionarios y localiza sus inflexiones.
La figura representa la derivada dada, no la función que debes obtener.
Estudio completo de una gráfica
Realiza un estudio de dominio, asíntotas, monotonía y extremos de $f(x)=x+1/x$.
Realiza un estudio de dominio, asíntotas, monotonía y extremos de $f(x)=x+1/x$.
Estudia monotonía y concavidad de $f(x)=\ln x/x$, y determina su máximo absoluto.
Estudia monotonía y concavidad de $f(x)=\ln x/x$, y determina su máximo absoluto.
Estudia las asíntotas y la monotonía de $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$.
Estudia las asíntotas y la monotonía de $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$.
Número de soluciones, parámetros y casos delicados
La monotonía convierte una ecuación en un problema de contar cortes: si $f$ es continua y estrictamente monótona en un intervalo, la ecuación $f(x)=k$ tiene a lo sumo una solución allí, y existe si $k$ está entre los valores de $f$ en los extremos (valores intermedios).
Determina cuántas soluciones reales tiene $x^3-3x=k$ según $k$, incluyendo las soluciones múltiples. La figura ilustra la interpretación de la ecuación como intersección…
Determina cuántas soluciones reales tiene $x^3-3x=k$ según $k$, incluyendo las soluciones múltiples.
La figura ilustra la interpretación de la ecuación como intersección con una recta horizontal.
Para $a>0$, estudia el número de soluciones positivas de $\ln x=ax$ en función de $a$.
Para $a>0$, estudia el número de soluciones positivas de $\ln x=ax$ en función de $a$.
Estudia los extremos e inflexiones de $f(x)=x^2e^{-x}$ en toda la recta, y decide cuáles son absolutos.
Estudia los extremos e inflexiones de $f(x)=x^2e^{-x}$ en toda la recta, y decide cuáles son absolutos.
Vuelve al principio: la temperatura máxima es un extremo (donde $f'$ cambia de $+$ a $-$) y el momento en que sube más despacio es un punto donde $f'$ deja de crecer, es decir, donde $f''$ cambia de signo.
Sea $f(x)=x^4+ax^3+bx^2$. Determina $a,b$ para que $x=1$ sea un punto estacionario de inflexión, y clasifica los demás puntos estacionarios.
Sea $f(x)=x^4+ax^3+bx^2$. Determina $a,b$ para que $x=1$ sea un punto estacionario de inflexión, y clasifica los demás puntos estacionarios.
Define $f(0)=0$ y $f(x)=e^{-1/x^2}$ para $x\ne0$. Estudia monotonía, extremos, concavidad e inflexiones, incluida la regularidad necesaria en cero.
Define $f(0)=0$ y $f(x)=e^{-1/x^2}$ para $x\ne0$. Estudia monotonía, extremos, concavidad e inflexiones, incluida la regularidad necesaria en cero.