Ejercicios: Subsucesiones, Cauchy y completitud básica

Halla los límites de las subsucesiones pares e impares de $a_n=(-1)^n+1/n$, $n\geq1$, y decide si converge.

La figura ilustra los datos y relaciones del problema.

Si $a_n\to3$, ¿cuánto vale $\lim_{k\to\infty}a_{k^2}$? Justifica con la definición de subsucesión.

Demuestra directamente que $a_n=1/n$ es de Cauchy.

¿Garantiza la acotación de una sucesión real que tenga una subsucesión convergente? ¿Garantiza que la sucesión completa converja? Nombra el teorema y da un contraejemplo para la segunda afirmación.

Sea $a_n=\cos(n\pi/2)$. Identifica todos sus valores de adherencia y construye una subsucesión para cada uno.

La figura ilustra los datos y relaciones del problema.

Supón que $a_{2n}\to L$ y $a_{2n-1}\to L$. Demuestra que $a_n\to L$ usando una única cota para los índices.

Prueba que toda sucesión de Cauchy es acotada, explicando cómo se controlan los primeros términos.

Sea $a_n$ una sucesión real de Cauchy y supón que $a_{n_k}\to L$. Demuestra que $a_n\to L$.

Estudia si $a_n=\ln n$ es de Cauchy. No basta afirmar que sus diferencias consecutivas tienden a cero.

Sea $a_n=\lfloor10^n\sqrt2\rfloor/10^n$, donde $\lfloor x\rfloor$ es la parte entera. Prueba que es una sucesión racional de Cauchy e indica su límite real.

Sea $(a_n)$ acotada y supón que todas sus subsucesiones convergentes tienen el mismo límite $L$. Demuestra que $a_n\to L$.

Una sucesión cumple $|a_{n+1}-a_n|\leq2^{-n}$ para $n\geq1$. Prueba que converge y acota $|a_n-L|$ en función de $n$.

¿Es cierto que $a_{n+1}-a_n\to0$ obliga a que $(a_n)$ converja? Estudia $a_n=\sqrt n$ y explica qué información falta.

Considera $a_n=(-1)^n+(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}/n$. Halla todos los valores de adherencia y prueba que no hay más.