Ejercicios: Monotonía, acotación y recurrencia
Estudia monotonía, cotas y límite de $a_n=n/(n+1)$, $n\geq1$.
Estudia monotonía, cotas y límite de $a_n=n/(n+1)$, $n\geq1$.
Sea $a_1=0$ y $a_{n+1}=(a_n+2)/2$. Calcula los cuatro primeros términos y conjetura el límite; comprueba la conjetura obteniendo una fórmula explícita.
Sea $a_1=0$ y $a_{n+1}=(a_n+2)/2$. Calcula los cuatro primeros términos y conjetura el límite; comprueba la conjetura obteniendo una fórmula explícita.
Para $a_n=3+2^{-n}$, $n\geq1$, demuestra que la sucesión decrece y está acotada. Halla su ínfimo y su máximo.
Para $a_n=3+2^{-n}$, $n\geq1$, demuestra que la sucesión decrece y está acotada. Halla su ínfimo y su máximo.
La temperatura de un objeto se modela por $T_0=80$ y $T_{n+1}=20+0,8(T_n-20)$, en grados Celsius. Halla $T_n$ y su límite. La figura ilustra los datos y relaciones del…
La temperatura de un objeto se modela por $T_0=80$ y $T_{n+1}=20+0,8(T_n-20)$, en grados Celsius. Halla $T_n$ y su límite.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Da un ejemplo de sucesión acotada que no sea convergente y explica por qué no contradice el teorema de convergencia monótona.
Da un ejemplo de sucesión acotada que no sea convergente y explica por qué no contradice el teorema de convergencia monótona.
Sea $a_1=1$ y $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$. Calcula $a_2,a_3$ y demuestra por inducción que $1\leq a_n\leq2$.
Sea $a_1=1$ y $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$. Calcula $a_2,a_3$ y demuestra por inducción que $1\leq a_n\leq2$.
Sea $a_1=1$ y $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$. Demuestra que converge y determina su límite sin dar por supuesta la convergencia.
Sea $a_1=1$ y $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$. Demuestra que converge y determina su límite sin dar por supuesta la convergencia.
Estudia monotonía y límite de $a_n=(n+1)/(2n+3)$, $n\geq1$.
Estudia monotonía y límite de $a_n=(n+1)/(2n+3)$, $n\geq1$.
Sea $x_0=4$ y $x_{n+1}=(x_n+2/x_n)/2$. Prueba que $x_n\geq\sqrt2$ y que decrece; deduce el límite.
Sea $x_0=4$ y $x_{n+1}=(x_n+2/x_n)/2$. Prueba que $x_n\geq\sqrt2$ y que decrece; deduce el límite.
Un filtro sigue $u_{n+1}=0,6u_n+4$, $u_0=0$. Determina el menor $n$ que asegura $|u_n-10|\leq0,1$.
Un filtro sigue $u_{n+1}=0,6u_n+4$, $u_0=0$. Determina el menor $n$ que asegura $|u_n-10|\leq0,1$.
Sea $x_0\in[0,1]$ y $x_{n+1}=(x_n+1)/3$. Demuestra que permanece en $[0,1]$ y estudia su monotonía según $x_0$.
Sea $x_0\in[0,1]$ y $x_{n+1}=(x_n+1)/3$. Demuestra que permanece en $[0,1]$ y estudia su monotonía según $x_0$.
Sea $a_n=\sum_{k=1}^n1/[k(k+1)]$. Prueba su convergencia utilizando monotonía y una cota, y calcula el límite.
Sea $a_n=\sum_{k=1}^n1/[k(k+1)]$. Prueba su convergencia utilizando monotonía y una cota, y calcula el límite.
Estudia $x_{n+1}=2-x_n$, con $x_0\in\mathbb R$: clasifica los valores iniciales que producen convergencia.
Estudia $x_{n+1}=2-x_n$, con $x_0\in\mathbb R$: clasifica los valores iniciales que producen convergencia.
Una corrección iterativa cumple $|e_{n+1}|\leq|e_n|/3$ y $|e_0|\leq2$. Demuestra una cota para $|e_n|$ y da un índice que garantice error menor que $10^{-4}$.
Una corrección iterativa cumple $|e_{n+1}|\leq|e_n|/3$ y $|e_0|\leq2$. Demuestra una cota para $|e_n|$ y da un índice que garantice error menor que $10^{-4}$.
Sea $x_0>0$ y $x_{n+1}=x_n/(1+x_n)$. Encuentra una expresión explícita y demuestra convergencia y monotonía.
Sea $x_0>0$ y $x_{n+1}=x_n/(1+x_n)$. Encuentra una expresión explícita y demuestra convergencia y monotonía.
Para $c>0$, se define $x_0=0$, $x_{n+1}=\sqrt{c+x_n}$. Prueba que converge y halla el límite en función de $c$.
Para $c>0$, se define $x_0=0$, $x_{n+1}=\sqrt{c+x_n}$. Prueba que converge y halla el límite en función de $c$.
Sea $x_0=1$ y $x_{n+1}=\cos x_n$. Demuestra que converge usando $|\cos u-\cos v|\leq(\sin1)|u-v|$ en $[0,1]$; no es necesario calcular el límite explícitamente.
Sea $x_0=1$ y $x_{n+1}=\cos x_n$. Demuestra que converge usando $|\cos u-\cos v|\leq(\sin1)|u-v|$ en $[0,1]$; no es necesario calcular el límite explícitamente.
En el método $x_{n+1}=(x_n+a/x_n)/2$, $a>0$, $x_0>0$, demuestra que, a partir de $n=1$, el error $e_n=x_n-\sqrt a$ satisface $0\leq e_{n+1}\leq e_n^2/(2\sqrt a)$.…
En el método $x_{n+1}=(x_n+a/x_n)/2$, $a>0$, $x_0>0$, demuestra que, a partir de $n=1$, el error $e_n=x_n-\sqrt a$ satisface $0\leq e_{n+1}\leq e_n^2/(2\sqrt a)$. Interpreta la cota.
Sean $x_0=0$, $y_0=2$, $x_{n+1}=(2x_n+y_n)/3$ y $y_{n+1}=(x_n+2y_n)/3$. Demuestra que ambos convergen al mismo límite y calcúlalo. La figura ilustra los datos y…
Sean $x_0=0$, $y_0=2$, $x_{n+1}=(2x_n+y_n)/3$ y $y_{n+1}=(x_n+2y_n)/3$. Demuestra que ambos convergen al mismo límite y calcúlalo.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Se itera $x_{n+1}=rx_n+(1-r)b$ con $b,r,x_0\in\mathbb R$. Clasifica la convergencia para todos los valores de $r$, incluyendo el caso inicial $x_0=b$.
Se itera $x_{n+1}=rx_n+(1-r)b$ con $b,r,x_0\in\mathbb R$. Clasifica la convergencia para todos los valores de $r$, incluyendo el caso inicial $x_0=b$.