Ejercicios: Límites y equivalencias de sucesiones
Para $n\geq1$, calcula $\lim_{n\to\infty}(3n^2-n)/(2n^2+5)$ justificando la operación con los grados.
Para $n\geq1$, calcula $\lim_{n\to\infty}(3n^2-n)/(2n^2+5)$ justificando la operación con los grados.
Estudia la convergencia de $a_n=(-1)^n/n$, $n\geq1$. Da un índice a partir del cual $|a_n|<0,01$. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Estudia la convergencia de $a_n=(-1)^n/n$, $n\geq1$. Da un índice a partir del cual $|a_n|<0,01$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+4n}-n)$ mediante racionalización.
Calcula $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+4n}-n)$ mediante racionalización.
Una discretización introduce un error $e_n=5/n^2$ metros, $n\geq1$. Halla su límite y el menor $n$ que garantiza $e_n\leq0,002$ metros.
Una discretización introduce un error $e_n=5/n^2$ metros, $n\geq1$. Halla su límite y el menor $n$ que garantiza $e_n\leq0,002$ metros.
Calcula $\lim_{n\to\infty}n\sin(2/n)$ indicando el límite trigonométrico empleado.
Calcula $\lim_{n\to\infty}n\sin(2/n)$ indicando el límite trigonométrico empleado.
Determina si $a_n=2+\cos(n\pi)$ converge. Justifica mediante dos familias de índices.
Determina si $a_n=2+\cos(n\pi)$ converge. Justifica mediante dos familias de índices.
Calcula $\lim_{n\to\infty}n\ln(1+3/n)$ usando una equivalencia.
Calcula $\lim_{n\to\infty}n\ln(1+3/n)$ usando una equivalencia.
Calcula $\lim_{n\to\infty}n^2(1-\cos(1/n))$.
Calcula $\lim_{n\to\infty}n^2(1-\cos(1/n))$.
Determina el límite de $(1+2/n)^{3n}$ y explica por qué no es $1$.
Determina el límite de $(1+2/n)^{3n}$ y explica por qué no es $1$.
Calcula $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^4+1}$.
Calcula $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^4+1}$.
Sean $a_n=\sqrt{n^2+n}-n$ y $b_n=1/2$. ¿Son equivalentes? ¿Tiende $a_n-b_n$ a cero? Justifica ambas respuestas.
Sean $a_n=\sqrt{n^2+n}-n$ y $b_n=1/2$. ¿Son equivalentes? ¿Tiende $a_n-b_n$ a cero? Justifica ambas respuestas.
Una señal tiene muestras $s_n=\sin n/\sqrt n$. Demuestra su convergencia sin suponer que $\sin n$ tenga límite. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Una señal tiene muestras $s_n=\sin n/\sqrt n$. Demuestra su convergencia sin suponer que $\sin n$ tenga límite.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Compara las velocidades de decaimiento de $a_n=1/n$ y $b_n=\ln n/n$, para $n\geq2$: calcula ambos límites y el cociente $a_n/b_n$.
Compara las velocidades de decaimiento de $a_n=1/n$ y $b_n=\ln n/n$, para $n\geq2$: calcula ambos límites y el cociente $a_n/b_n$.
Calcula $\lim_{n\to\infty}n(\sqrt{1+1/n}-1)$ y encuentra una cota superior de su error respecto al límite.
Calcula $\lim_{n\to\infty}n(\sqrt{1+1/n}-1)$ y encuentra una cota superior de su error respecto al límite.
Calcula $\lim_{n\to\infty}n^2(\ln(1+1/n)-1/n)$ y explica por qué sustituir solo $\ln(1+1/n)\sim1/n$ no basta.
Calcula $\lim_{n\to\infty}n^2(\ln(1+1/n)-1/n)$ y explica por qué sustituir solo $\ln(1+1/n)\sim1/n$ no basta.
Para $a\in\mathbb R$, calcula $\lim_{n\to\infty}n(\sqrt{n^2+an}-n-a/2)$; considera solo los índices donde la raíz está definida.
Para $a\in\mathbb R$, calcula $\lim_{n\to\infty}n(\sqrt{n^2+an}-n-a/2)$; considera solo los índices donde la raíz está definida.
Calcula $\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^{n^2}e^{-n}$ tomando logaritmos antes de pasar al límite.
Calcula $\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^{n^2}e^{-n}$ tomando logaritmos antes de pasar al límite.
Sea $a_n=n\sin(1/n)$. Encuentra constantes $A,B$ tales que $n^2(a_n-A)\to B$, justificando la precisión utilizada.
Sea $a_n=n\sin(1/n)$. Encuentra constantes $A,B$ tales que $n^2(a_n-A)\to B$, justificando la precisión utilizada.
Para $p>0$, estudia según $p$ el límite de $n^p(\sqrt{1+1/n^2}-1)$.
Para $p>0$, estudia según $p$ el límite de $n^p(\sqrt{1+1/n^2}-1)$.
Un algoritmo presenta error $e_n=\ln(1+1/n)-1/(n+1)$. Prueba que es positivo y halla una equivalencia que describa su orden.
Un algoritmo presenta error $e_n=\ln(1+1/n)-1/(n+1)$. Prueba que es positivo y halla una equivalencia que describa su orden.