Ejercicios: Series positivas y criterios de convergencia
Decide si converge $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{3/2}$ e identifica el criterio empleado.
Decide si converge $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{3/2}$ e identifica el criterio empleado.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}n/(n+1)$. ¿Qué condición necesaria decide el resultado?
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}n/(n+1)$. ¿Qué condición necesaria decide el resultado?
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}1/(n^2+4)$ por comparación directa.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}1/(n^2+4)$ por comparación directa.
Decide la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}3^n/5^n$ y calcula su suma.
Decide la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}3^n/5^n$ y calcula su suma.
Aplica el criterio del cociente a $\sum_{n=1}^{\infty}n!/4^n$.
Aplica el criterio del cociente a $\sum_{n=1}^{\infty}n!/4^n$.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}1/\sqrt{n^2+1}$ mediante comparación por límite.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}1/\sqrt{n^2+1}$ mediante comparación por límite.
Estudia $\sum_{n=2}^{\infty}1/(n\ln n)$ usando el criterio integral y verifica sus hipótesis. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Estudia $\sum_{n=2}^{\infty}1/(n\ln n)$ usando el criterio integral y verifica sus hipótesis.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Estudia $\sum_{n=2}^{\infty}1/[n(\ln n)^2]$ por el criterio integral.
Estudia $\sum_{n=2}^{\infty}1/[n(\ln n)^2]$ por el criterio integral.
Para $\sum_{n=1}^{\infty}n^2/2^n$, aplica el criterio del cociente e interpreta el límite.
Para $\sum_{n=1}^{\infty}n^2/2^n$, aplica el criterio del cociente e interpreta el límite.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(n/(2n+1))^n$ con el criterio de la raíz.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(n/(2n+1))^n$ con el criterio de la raíz.
Determina para qué $p\in\mathbb R$ converge $\sum_{n=1}^{\infty}n/(1+n^p)$.
Determina para qué $p\in\mathbb R$ converge $\sum_{n=1}^{\infty}n/(1+n^p)$.
La energía del armónico $n$ de un modelo es $E_n=E_0/n^2$, con $E_0>0$. Sin usar la suma exacta, acota la energía total no contabilizada tras los primeros $N$ armónicos…
La energía del armónico $n$ de un modelo es $E_n=E_0/n^2$, con $E_0>0$. Sin usar la suma exacta, acota la energía total no contabilizada tras los primeros $N$ armónicos mediante integrales.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Explica por qué el criterio del cociente es inconcluyente tanto para $\sum1/n$ como para $\sum1/n^2$, y determina su carácter por otro criterio.
Explica por qué el criterio del cociente es inconcluyente tanto para $\sum1/n$ como para $\sum1/n^2$, y determina su carácter por otro criterio.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n^2+1}-n)$.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n^2+1}-n)$.
Clasifica para todos los $p\in\mathbb R$ la serie $\sum_{n=2}^{\infty}1/[n(\ln n)^p]$.
Clasifica para todos los $p\in\mathbb R$ la serie $\sum_{n=2}^{\infty}1/[n(\ln n)^p]$.
Para $a>0$, estudia $\sum_{n=1}^{\infty}n^n/(a^n n!)$, incluido el valor donde el criterio del cociente es inconcluyente. Puedes usar $n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n$.
Para $a>0$, estudia $\sum_{n=1}^{\infty}n^n/(a^n n!)$, incluido el valor donde el criterio del cociente es inconcluyente. Puedes usar $n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n$.
Determina para qué $p>0$ converge $\sum_{n=1}^{\infty}[1-\cos(1/n^p)]$.
Determina para qué $p>0$ converge $\sum_{n=1}^{\infty}[1-\cos(1/n^p)]$.
Se aproxima $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-3}$ mediante los primeros $N$ términos. Obtén una cota integral del error y el menor $N$ que esa cota garantiza para error menor que…
Se aproxima $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-3}$ mediante los primeros $N$ términos. Obtén una cota integral del error y el menor $N$ que esa cota garantiza para error menor que $10^{-5}$.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1+1/n^2)$ y $\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1+1/n)$. Justifica por qué ambas tienen términos que tienden a cero y distinto carácter.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1+1/n^2)$ y $\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1+1/n)$. Justifica por qué ambas tienen términos que tienden a cero y distinto carácter.
Sea $(a_n)$ positiva, decreciente, y supón que $\sum a_n$ converge. Demuestra que $na_n\to0$ usando las sumas sobre índices entre $\lfloor n/2\rfloor+1$ y $n$.
Sea $(a_n)$ positiva, decreciente, y supón que $\sum a_n$ converge. Demuestra que $na_n\to0$ usando las sumas sobre índices entre $\lfloor n/2\rfloor+1$ y $n$.