Ejercicios: Convergencia absoluta, alternancia y cotas
Clasifica $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n$ como absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.
Clasifica $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n$ como absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.
Clasifica $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/n^2$.
Clasifica $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/n^2$.
Al aproximar $S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n^3$ con cuatro términos, da una cota del error y determina si la aproximación es por exceso o por defecto. La figura…
Al aproximar $S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n^3$ con cuatro términos, da una cota del error y determina si la aproximación es por exceso o por defecto.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Decide si converge $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n n/(n+1)$.
Decide si converge $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n n/(n+1)$.
Determina cuántos términos bastan, por la cota de Leibniz, para aproximar $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n^2$ con error como máximo $0,01$.
Determina cuántos términos bastan, por la cota de Leibniz, para aproximar $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n^2$ con error como máximo $0,01$.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/3^n$ y calcula su suma.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/3^n$ y calcula su suma.
Clasifica según $p\in\mathbb R$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n^p$.
Clasifica según $p\in\mathbb R$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n^p$.
Estudia $\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n/\ln n$, indicando si es absoluta o condicional.
Estudia $\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n/\ln n$, indicando si es absoluta o condicional.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}n/(n^2+1)$ y justifica la monotonía necesaria.
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}n/(n^2+1)$ y justifica la monotonía necesaria.
Se usa $\ln2=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n$. Construye un intervalo certificado para $\ln2$ con $S_4$ y $S_5$, y calcula su anchura.
Se usa $\ln2=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n$. Construye un intervalo certificado para $\ln2$ con $S_4$ y $S_5$, y calcula su anchura.
Halla una cota del error al aproximar $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/(2n-1)$ por $100$ términos. ¿Cuántos bastarían para asegurar error como máximo $10^{-3}$ por Leibniz?
Halla una cota del error al aproximar $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/(2n-1)$ por $100$ términos. ¿Cuántos bastarían para asegurar error como máximo $10^{-3}$ por Leibniz?
Clasifica $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\sin(1/n)$ sin usar la suma exacta.
Clasifica $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\sin(1/n)$ sin usar la suma exacta.
Prueba que $\sum_{n=1}^{\infty}\cos(n)/n^2$ converge, aunque sus signos no alternen regularmente.
Prueba que $\sum_{n=1}^{\infty}\cos(n)/n^2$ converge, aunque sus signos no alternen regularmente.
Para $S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/\sqrt n$, demuestra que $S_{2m}\leq S\leq S_{2m-1}$ y calcula la anchura de este intervalo. La figura ilustra los datos y…
Para $S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/\sqrt n$, demuestra que $S_{2m}\leq S\leq S_{2m-1}$ y calcula la anchura de este intervalo.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Sea $a_n=(-1)^n/n+1/n^2$. Determina si $\sum a_n$ converge y si lo hace absolutamente.
Sea $a_n=(-1)^n/n+1/n^2$. Determina si $\sum a_n$ converge y si lo hace absolutamente.
La serie armónica alternada suma $\ln2$. Agrupa sus términos en bloques $1/(4k-3)+1/(4k-1)-1/(2k)$, $k\geq1$. Demuestra que la suma de los primeros $m$ bloques es…
La serie armónica alternada suma $\ln2$. Agrupa sus términos en bloques $1/(4k-3)+1/(4k-1)-1/(2k)$, $k\geq1$. Demuestra que la suma de los primeros $m$ bloques es $H_{4m}-H_{2m}/2-H_m/2$ y halla el límite usando $H_n-\ln n\to\gamma$.
Para $b_{2k-1}=1/\sqrt k$ y $b_{2k}=1/\sqrt k+1/k$, estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$. Todos los $b_n$ tienden a cero: explica por qué eso no permite aplicar…
Para $b_{2k-1}=1/\sqrt k$ y $b_{2k}=1/\sqrt k+1/k$, estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$. Todos los $b_n$ tienden a cero: explica por qué eso no permite aplicar Leibniz.
Para $p\in\mathbb R$, clasifica $\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n/[n(\ln n)^p]$.
Para $p\in\mathbb R$, clasifica $\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n/[n(\ln n)^p]$.
Sea $S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n$ y $A_N=(S_N+S_{N+1})/2$. Usando que $S$ está entre ambas sumas, da una cota del error de $A_N$. ¿Mejora el factor de la cota…
Sea $S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n$ y $A_N=(S_N+S_{N+1})/2$. Usando que $S$ está entre ambas sumas, da una cota del error de $A_N$. ¿Mejora el factor de la cota usual de $S_N$?
Considera $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\ln(1+1/n)$. Prueba que converge condicionalmente y encuentra el mínimo $N$ que la cota de Leibniz certifica para error como…
Considera $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\ln(1+1/n)$. Prueba que converge condicionalmente y encuentra el mínimo $N$ que la cota de Leibniz certifica para error como máximo $0,01$; deja la desigualdad exacta antes de redondear.