Ejercicios: Inmediatas y cambio de variable
Calcula todas las primitivas de $f(x)=3x^2-4x+2$ y determina la que vale $5$ en $x=0$.
Calcula todas las primitivas de $f(x)=3x^2-4x+2$ y determina la que vale $5$ en $x=0$.
Calcula $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ e identifica explícitamente el cambio de variable.
Calcula $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ e identifica explícitamente el cambio de variable.
Halla las primitivas de $f(x)=1/(2x+3)$ en su dominio real. Explica por qué no hay una única constante global obligatoria.
Halla las primitivas de $f(x)=1/(2x+3)$ en su dominio real. Explica por qué no hay una única constante global obligatoria.
Encuentra una primitiva de $f(x)=e^{3x-1}$ que se anule en $x=1/3$.
Encuentra una primitiva de $f(x)=e^{3x-1}$ que se anule en $x=1/3$.
Calcula $\int x/\sqrt{1+x^2}\,dx$ y comprueba el resultado derivando.
Calcula $\int x/\sqrt{1+x^2}\,dx$ y comprueba el resultado derivando.
Un sensor registra una tasa $q(t)=2t/(1+t^2)$ en unidades de señal por segundo, con $t$ medido en segundos. Halla la señal acumulada $Q(t)$ si $Q(0)=0$. La figura…
Un sensor registra una tasa $q(t)=2t/(1+t^2)$ en unidades de señal por segundo, con $t$ medido en segundos. Halla la señal acumulada $Q(t)$ si $Q(0)=0$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula $\int x^3\sqrt{1+x^2}\,dx$, mostrando cómo expresas todo el integrando en la nueva variable.
Calcula $\int x^3\sqrt{1+x^2}\,dx$, mostrando cómo expresas todo el integrando en la nueva variable.
Calcula $\int \ln x/x\,dx$ en $x>0$ y elige la primitiva que vale $2$ en $x=1$.
Calcula $\int \ln x/x\,dx$ en $x>0$ y elige la primitiva que vale $2$ en $x=1$.
Obtén $\int dx/(x\ln x)$ y especifica los intervalos máximos reales de validez.
Obtén $\int dx/(x\ln x)$ y especifica los intervalos máximos reales de validez.
Calcula $\int e^x/(1+e^{2x})\,dx$ y comprueba la derivada.
Calcula $\int e^x/(1+e^{2x})\,dx$ y comprueba la derivada.
Para $a>0$, calcula $\int x/(a^2+x^2)\,dx$ e indica qué cambia si se exige $F(0)=0$.
Para $a>0$, calcula $\int x/(a^2+x^2)\,dx$ e indica qué cambia si se exige $F(0)=0$.
Calcula $\int x^2/\sqrt{1-x^3}\,dx$ en $x<1$, justificando el signo introducido por la sustitución.
Calcula $\int x^2/\sqrt{1-x^3}\,dx$ en $x<1$, justificando el signo introducido por la sustitución.
Halla una primitiva de $f(x)=\lvert x\rvert$ en toda la recta, con $F(0)=0$, y prueba que es derivable también en $0$. La figura ilustra los datos y relaciones del…
Halla una primitiva de $f(x)=\lvert x\rvert$ en toda la recta, con $F(0)=0$, y prueba que es derivable también en $0$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula $\int dx/(\sqrt{x}(1+x))$ para $x>0$. Explica por qué $u=\sqrt{x}$ elimina la raíz.
Calcula $\int dx/(\sqrt{x}(1+x))$ para $x>0$. Explica por qué $u=\sqrt{x}$ elimina la raíz.
Calcula $\int dx/(x\sqrt{\ln x})$ en $x>1$. Determina si alguna primitiva se extiende continuamente a $x=1$ y si esa extensión es derivable allí por la derecha.
Calcula $\int dx/(x\sqrt{\ln x})$ en $x>1$. Determina si alguna primitiva se extiende continuamente a $x=1$ y si esa extensión es derivable allí por la derecha.
Calcula $\int dx/(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})$ para $x>0$ mediante una sustitución que convierta simultáneamente ambas raíces en potencias enteras. Obtén la primitiva…
Calcula $\int dx/(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})$ para $x>0$ mediante una sustitución que convierta simultáneamente ambas raíces en potencias enteras. Obtén la primitiva normalizada por $F(1)=0$ y comprueba la respuesta por derivación.
La familia $F_a(x)=(x^a-1)/a$ está definida para $x>0$, $a\ne0$. Comprueba que es una primitiva normalizada de $x^{a-1}$ y calcula su límite cuando $a\to0$.
La familia $F_a(x)=(x^a-1)/a$ está definida para $x>0$, $a\ne0$. Comprueba que es una primitiva normalizada de $x^{a-1}$ y calcula su límite cuando $a\to0$.
Decide si existe una primitiva en toda $\mathbb{R}$ de $f(x)=1$ si $x<0$ y $f(x)=2$ si $x\ge0$. Justifica sin limitarte a proponer fórmulas por tramos. La figura ilustra…
Decide si existe una primitiva en toda $\mathbb{R}$ de $f(x)=1$ si $x<0$ y $f(x)=2$ si $x\ge0$. Justifica sin limitarte a proponer fórmulas por tramos.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula $\int x\sqrt{x+1}\,dx$ para $x>-1$ y determina la única primitiva que tiene un mínimo de valor $0$ en $x=0$.
Calcula $\int x\sqrt{x+1}\,dx$ para $x>-1$ y determina la única primitiva que tiene un mínimo de valor $0$ en $x=0$.
Calcula las primitivas de $f(x)=2x/\bigl((x^2-1)[1+\ln^2|x^2-1|]\bigr)$ en su dominio. Determina si pueden elegirse las constantes de modo que la primitiva se extienda…
Calcula las primitivas de $f(x)=2x/\bigl((x^2-1)[1+\ln^2|x^2-1|]\bigr)$ en su dominio. Determina si pueden elegirse las constantes de modo que la primitiva se extienda continuamente a toda la recta y valga cero en el origen. Si es posible, decide si esa extensión es derivable en $x=\pm1$.