Ejercicios: Desarrollos de Taylor y representación de funciones
Escribe los primeros cuatro términos no nulos de la serie de Maclaurin de $e^x$ y su radio de convergencia.
Escribe los primeros cuatro términos no nulos de la serie de Maclaurin de $e^x$ y su radio de convergencia.
Obtén los primeros tres términos no nulos de la serie de $\sin x$ centrada en cero e indica su dominio de representación.
Obtén los primeros tres términos no nulos de la serie de $\sin x$ centrada en cero e indica su dominio de representación.
Desarrolla $1/(1-x)$ como serie de potencias alrededor de cero e indica dónde representa a la función.
Desarrolla $1/(1-x)$ como serie de potencias alrededor de cero e indica dónde representa a la función.
Escribe el polinomio de Maclaurin de grado $4$ de $\cos x$. Indica qué potencias faltan y por qué.
Escribe el polinomio de Maclaurin de grado $4$ de $\cos x$. Indica qué potencias faltan y por qué.
Obtén una serie centrada en cero para $1/(1+2x)$ y su intervalo de representación.
Obtén una serie centrada en cero para $1/(1+2x)$ y su intervalo de representación.
Usa los primeros tres términos no nulos de $\sin x$ para aproximar $\sin(0,2)$ y acota el error por el siguiente término. La figura ilustra los datos y relaciones del…
Usa los primeros tres términos no nulos de $\sin x$ para aproximar $\sin(0,2)$ y acota el error por el siguiente término.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Obtén la serie de Maclaurin de $\ln(1+x)$ integrando una geométrica. Determina también qué ocurre en $x=1$ y $x=-1$.
Obtén la serie de Maclaurin de $\ln(1+x)$ integrando una geométrica. Determina también qué ocurre en $x=1$ y $x=-1$.
Desarrolla $\ln x$ alrededor de $x=1$ e indica el intervalo de representación, incluidos sus extremos.
Desarrolla $\ln x$ alrededor de $x=1$ e indica el intervalo de representación, incluidos sus extremos.
Escribe hasta grado $5$ la expansión de $e^{x^2}$ y señala el orden del primer término omitido.
Escribe hasta grado $5$ la expansión de $e^{x^2}$ y señala el orden del primer término omitido.
Obtén los términos hasta grado $4$ de $e^x\cos x$ multiplicando desarrollos.
Obtén los términos hasta grado $4$ de $e^x\cos x$ multiplicando desarrollos.
Representa $f(x)=\sin x/x$ por una serie en torno a cero, definiendo adecuadamente $f(0)$. Halla $f''(0)$.
Representa $f(x)=\sin x/x$ por una serie en torno a cero, definiendo adecuadamente $f(0)$. Halla $f''(0)$.
Usa la expansión de $\ln(1+x)$ para calcular $\lim_{x\to0}[\ln(1+x)-x+x^2/2]/x^3$.
Usa la expansión de $\ln(1+x)$ para calcular $\lim_{x\to0}[\ln(1+x)-x+x^2/2]/x^3$.
Aproxima $e^{0,1}$ con $P_3(x)=1+x+x^2/2+x^3/6$ y certifica un error menor que $5\cdot10^{-6}$ usando el resto de Lagrange y $e^{0,1}<1,106$.
Aproxima $e^{0,1}$ con $P_3(x)=1+x+x^2/2+x^3/6$ y certifica un error menor que $5\cdot10^{-6}$ usando el resto de Lagrange y $e^{0,1}<1,106$.
Obtén el polinomio de Taylor de grado $3$ de $e^x$ centrado en $x=1$ y explica por qué no es el mismo que su polinomio de Maclaurin. La figura ilustra los datos y…
Obtén el polinomio de Taylor de grado $3$ de $e^x$ centrado en $x=1$ y explica por qué no es el mismo que su polinomio de Maclaurin.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Para $f(x)=e^{-1/x^2}$ si $x\ne0$ y $f(0)=0$, se sabe que todas sus derivadas en cero son nulas. Determina su serie de Taylor en cero y explica por qué convergencia de…
Para $f(x)=e^{-1/x^2}$ si $x\ne0$ y $f(0)=0$, se sabe que todas sus derivadas en cero son nulas. Determina su serie de Taylor en cero y explica por qué convergencia de la serie no implica que represente a $f$ cerca de cero.
Obtén hasta grado $4$ el desarrollo en cero de $\ln(1+x)/(1-x)$ y da su intervalo de validez como producto de series absolutamente convergentes.
Obtén hasta grado $4$ el desarrollo en cero de $\ln(1+x)/(1-x)$ y da su intervalo de validez como producto de series absolutamente convergentes.
Usa la serie de $\arctan x$ para aproximar $\pi/4=\arctan1$ con error como máximo $0,005$. Determina cuántos términos certifica Leibniz y explica por qué converge…
Usa la serie de $\arctan x$ para aproximar $\pi/4=\arctan1$ con error como máximo $0,005$. Determina cuántos términos certifica Leibniz y explica por qué converge lentamente en ese punto.
Para $|x|<1$, encuentra una expresión para el coeficiente de $x^n$ en $e^x/(1-x)$ y justifica el producto.
Para $|x|<1$, encuentra una expresión para el coeficiente de $x^n$ en $e^x/(1-x)$ y justifica el producto.
En un modelo relativista se usa $(1-z)^{-1/2}$ con $0\leq z\leq0,01$. Obtén el polinomio de grado $2$ en cero y una cota uniforme del error usando…
En un modelo relativista se usa $(1-z)^{-1/2}$ con $0\leq z\leq0,01$. Obtén el polinomio de grado $2$ en cero y una cota uniforme del error usando $f^{(3)}(z)=15/[8(1-z)^{7/2}]$.
Determina constantes $a,b,c$ para que $[\cos x-a-bx^2-cx^4]/x^6$ tenga límite finito en cero, y calcula ese límite.
Determina constantes $a,b,c$ para que $[\cos x-a-bx^2-cx^4]/x^6$ tenga límite finito en cero, y calcula ese límite.