Ejercicios: Definición, límites laterales y asíntotas
Calcula los límites laterales en $0$ de $f(x)=|x|/x$ y decide si existe el límite bilateral.
Calcula los límites laterales en $0$ de $f(x)=|x|/x$ y decide si existe el límite bilateral.
Demuestra con la definición $\varepsilon$–$\delta$ que $\lim_{x\to2}(3x-1)=5$. Da una elección explícita de $\delta$.
Demuestra con la definición $\varepsilon$–$\delta$ que $\lim_{x\to2}(3x-1)=5$. Da una elección explícita de $\delta$.
Halla las asíntotas verticales y horizontales de $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$ y los límites laterales en la asíntota vertical.
Halla las asíntotas verticales y horizontales de $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$ y los límites laterales en la asíntota vertical.
Sea $f(x)=2$ si $x\neq1$ y $f(1)=7$. Calcula $\lim_{x\to1}f(x)$ y explica qué papel tiene $f(1)$. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Sea $f(x)=2$ si $x\neq1$ y $f(1)=7$. Calcula $\lim_{x\to1}f(x)$ y explica qué papel tiene $f(1)$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Demuestra por definición que $\lim_{x\to1}x^2=1$, dando una elección de $\delta$ válida para todo $\varepsilon>0$.
Demuestra por definición que $\lim_{x\to1}x^2=1$, dando una elección de $\delta$ válida para todo $\varepsilon>0$.
Prueba que $\lim_{x\to0}\sin(1/x)$ no existe mediante dos sucesiones de puntos que tienden a cero.
Prueba que $\lim_{x\to0}\sin(1/x)$ no existe mediante dos sucesiones de puntos que tienden a cero.
Calcula las asíntotas de $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$ y especifica la recta oblicua mediante el límite de la diferencia.
Calcula las asíntotas de $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$ y especifica la recta oblicua mediante el límite de la diferencia.
Halla $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+4x}-x)$ y $\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2+4x}+x)$.
Halla $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+4x}-x)$ y $\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2+4x}+x)$.
Demuestra que $1/x^2\to+\infty$ cuando $x\to0$ usando la definición: para cada $M>0$ encuentra un entorno perforado adecuado.
Demuestra que $1/x^2\to+\infty$ cuando $x\to0$ usando la definición: para cada $M>0$ encuentra un entorno perforado adecuado.
Calcula $\lim_{x\to0}x\sin(1/x)$ y justifica por qué la oscilación del seno no impide ese límite. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula $\lim_{x\to0}x\sin(1/x)$ y justifica por qué la oscilación del seno no impide ese límite.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Demuestra con la definición de límite que si $f(x)\to L>0$ al tender $x$ a $a$, entonces $f(x)>L/2$ en algún entorno perforado de $a$.
Demuestra con la definición de límite que si $f(x)\to L>0$ al tender $x$ a $a$, entonces $f(x)>L/2$ en algún entorno perforado de $a$.
Construye dos funciones sin límite en $0$ cuya suma sí tenga límite, y otras dos sin límite en $0$ cuyo producto sí tenga límite. Justifica tus ejemplos.
Construye dos funciones sin límite en $0$ cuya suma sí tenga límite, y otras dos sin límite en $0$ cuyo producto sí tenga límite. Justifica tus ejemplos.
Prueba directamente que $\lim_{x\to2}1/x=1/2$ e indica por qué debes alejarte de $x=0$ al elegir $\delta$.
Prueba directamente que $\lim_{x\to2}1/x=1/2$ e indica por qué debes alejarte de $x=0$ al elegir $\delta$.
Encuentra todos los $a,b$ para que $f(x)=\frac{ax^2+bx+1}{x-1}$ tenga una discontinuidad evitable en $1$ y asíntota oblicua $y=2x+1$. Justifica si las dos exigencias son…
Encuentra todos los $a,b$ para que $f(x)=\frac{ax^2+bx+1}{x-1}$ tenga una discontinuidad evitable en $1$ y asíntota oblicua $y=2x+1$. Justifica si las dos exigencias son compatibles.