Ejercicios: Sumas de Riemann y propiedades
Escribe las sumas de Riemann por extremos derechos de $f(x)=x$ en $[0,1]$ para $n$ subintervalos iguales y calcula su límite.
Escribe las sumas de Riemann por extremos derechos de $f(x)=x$ en $[0,1]$ para $n$ subintervalos iguales y calcula su límite.
Para $f(x)=2-x$ en $[0,2]$, calcula las sumas inferior y superior con la partición $0,1,2$. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Para $f(x)=2-x$ en $[0,2]$, calcula las sumas inferior y superior con la partición $0,1,2$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Se sabe que $\int_0^2f=3$ y $\int_2^5f=-1$. Calcula $\int_5^0f$ y $\int_0^5(2f(x)+1)\,dx$.
Se sabe que $\int_0^2f=3$ y $\int_2^5f=-1$. Calcula $\int_5^0f$ y $\int_0^5(2f(x)+1)\,dx$.
La función $f$ vale $1$ en $[0,1)$ y $3$ en $[1,2]$. Calcula su integral de Riemann y explica si cambiar solamente $f(1)$ la altera. La figura ilustra los datos y…
La función $f$ vale $1$ en $[0,1)$ y $3$ en $[1,2]$. Calcula su integral de Riemann y explica si cambiar solamente $f(1)$ la altera.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Obtén $\int_0^1x^2\,dx$ como límite de sumas, usando $\sum_{k=1}^n k^2=n(n+1)(2n+1)/6$.
Obtén $\int_0^1x^2\,dx$ como límite de sumas, usando $\sum_{k=1}^n k^2=n(n+1)(2n+1)/6$.
Sin calcular primitivas, acota $\int_0^1e^{-x^2}\,dx$ mediante los valores mínimo y máximo de la función. Mejora la cota inferior usando $e^{-u}\ge1-u$.
Sin calcular primitivas, acota $\int_0^1e^{-x^2}\,dx$ mediante los valores mínimo y máximo de la función. Mejora la cota inferior usando $e^{-u}\ge1-u$.
Sea $f$ continua e impar en $[-a,a]$, con $a>0$. Demuestra que su integral es cero y explica por qué esto no significa que el área geométrica sea cero.
Sea $f$ continua e impar en $[-a,a]$, con $a>0$. Demuestra que su integral es cero y explica por qué esto no significa que el área geométrica sea cero.
Determina $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sqrt{1+k/n}$ e identifica el intervalo y la función de la suma. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Determina $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sqrt{1+k/n}$ e identifica el intervalo y la función de la suma.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Para $f(x)=x^2$ en $[0,2]$ y $n$ subintervalos iguales, calcula la diferencia entre suma superior e inferior y úsala para justificar la integrabilidad.
Para $f(x)=x^2$ en $[0,2]$ y $n$ subintervalos iguales, calcula la diferencia entre suma superior e inferior y úsala para justificar la integrabilidad.
Una función continua no negativa $f$ en $[0,1]$ satisface $\int_0^1f(x)\,dx=0$. Prueba que $f$ es idénticamente cero.
Una función continua no negativa $f$ en $[0,1]$ satisface $\int_0^1f(x)\,dx=0$. Prueba que $f$ es idénticamente cero.
La función de Dirichlet vale $1$ en los racionales de $[0,1]$ y $0$ en los irracionales. Demuestra que no es integrable de Riemann, usando sumas inferior y superior.
La función de Dirichlet vale $1$ en los racionales de $[0,1]$ y $0$ en los irracionales. Demuestra que no es integrable de Riemann, usando sumas inferior y superior.
Para $f$ continua en $[0,1]$, demuestra que $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^nf((k-1/2)/n)=\int_0^1f$. Aplica a $f(x)=1/(1+x^2)$.
Para $f$ continua en $[0,1]$, demuestra que $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^nf((k-1/2)/n)=\int_0^1f$. Aplica a $f(x)=1/(1+x^2)$.
Decide si de $\int_0^1f=\int_0^1g$ con $f,g$ continuas se deduce $f=g$. Si además $f\ge g$ en todo el intervalo, ¿qué cambia? Justifica ambas respuestas.
Decide si de $\int_0^1f=\int_0^1g$ con $f,g$ continuas se deduce $f=g$. Si además $f\ge g$ en todo el intervalo, ¿qué cambia? Justifica ambas respuestas.
Sea $f$ continua en $[a,b]$. Demuestra $\lvert\int_a^bf\rvert\le\int_a^b\lvert f\rvert$ y caracteriza cuándo hay igualdad.
Sea $f$ continua en $[a,b]$. Demuestra $\lvert\int_a^bf\rvert\le\int_a^b\lvert f\rvert$ y caracteriza cuándo hay igualdad.