Ejercicios: Integrales impropias y convergencia
Define mediante un límite y calcula $\int_1^\infty dx/x^2$.
Define mediante un límite y calcula $\int_1^\infty dx/x^2$.
Estudia $\int_1^\infty dx/x$ y explica por qué que el integrando tienda a cero no basta para converger.
Estudia $\int_1^\infty dx/x$ y explica por qué que el integrando tienda a cero no basta para converger.
Calcula $\int_0^1dx/\sqrt x$ como integral impropia. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula $\int_0^1dx/\sqrt x$ como integral impropia.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Estudia la convergencia de $\int_0^1dx/x^2$.
Estudia la convergencia de $\int_0^1dx/x^2$.
Calcula $\int_0^\infty e^{-2x}\,dx$ mediante un límite.
Calcula $\int_0^\infty e^{-2x}\,dx$ mediante un límite.
Decide si $\int_1^\infty dx/(1+x^2)$ converge y, si lo hace, calcula su valor.
Decide si $\int_1^\infty dx/(1+x^2)$ converge y, si lo hace, calcula su valor.
Clasifica, según $p\in\mathbb R$, la convergencia de $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ y da su valor cuando existe.
Clasifica, según $p\in\mathbb R$, la convergencia de $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ y da su valor cuando existe.
Clasifica, según $p\in\mathbb R$, la convergencia de $\int_0^1x^{-p}\,dx$ y da su valor cuando existe.
Clasifica, según $p\in\mathbb R$, la convergencia de $\int_0^1x^{-p}\,dx$ y da su valor cuando existe.
Calcula $\int_0^1\ln x\,dx$ y justifica el límite del término $x\ln x$.
Calcula $\int_0^1\ln x\,dx$ y justifica el límite del término $x\ln x$.
Estudia por comparación $\int_1^\infty dx/\sqrt{x^4+1}$. No se pide una primitiva ni valor exacto.
Estudia por comparación $\int_1^\infty dx/\sqrt{x^4+1}$. No se pide una primitiva ni valor exacto.
Estudia por comparación por límite $\int_1^\infty(2x+1)/(x^2+3)\,dx$.
Estudia por comparación por límite $\int_1^\infty(2x+1)/(x^2+3)\,dx$.
Calcula $\int_0^\infty xe^{-x}\,dx$ y justifica que desaparece el término de frontera. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula $\int_0^\infty xe^{-x}\,dx$ y justifica que desaparece el término de frontera.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Estudia $\int_{-1}^1 dx/x$. Compárala con $\lim_{\varepsilon\to0^+}(\int_{-1}^{-\varepsilon}dx/x+\int_{\varepsilon}^1dx/x)$ y explica la diferencia. La figura ilustra…
Estudia $\int_{-1}^1 dx/x$. Compárala con $\lim_{\varepsilon\to0^+}(\int_{-1}^{-\varepsilon}dx/x+\int_{\varepsilon}^1dx/x)$ y explica la diferencia.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Determina para qué $p\in\mathbb R$ converge $\int_e^\infty dx/(x(\ln x)^p)$ y calcula su valor en esos casos.
Determina para qué $p\in\mathbb R$ converge $\int_e^\infty dx/(x(\ln x)^p)$ y calcula su valor en esos casos.
Demuestra que $\int_1^\infty\sin x/x\,dx$ converge por integración por partes, sin calcular su valor.
Demuestra que $\int_1^\infty\sin x/x\,dx$ converge por integración por partes, sin calcular su valor.
Demuestra que $\int_1^\infty|\sin x|/x\,dx$ diverge y concluye el tipo de convergencia de la integral sin valor absoluto. Puedes usar los intervalos…
Demuestra que $\int_1^\infty|\sin x|/x\,dx$ diverge y concluye el tipo de convergencia de la integral sin valor absoluto. Puedes usar los intervalos $[k\pi+\pi/6,k\pi+5\pi/6]$ para $k\ge1$.
Clasifica según $a\in\mathbb R$ la convergencia de $\int_0^\infty x^a/(1+x^2)\,dx$. No se pide su valor.
Clasifica según $a\in\mathbb R$ la convergencia de $\int_0^\infty x^a/(1+x^2)\,dx$. No se pide su valor.
Calcula $\int_0^\infty dx/(\sqrt x(1+x))$, justificando las dos singularidades impropias.
Calcula $\int_0^\infty dx/(\sqrt x(1+x))$, justificando las dos singularidades impropias.
Determina para qué $p\in\mathbb R$ converge $\int_0^{e^{-1}}dx/(x|\ln x|^p)$ y calcula su valor.
Determina para qué $p\in\mathbb R$ converge $\int_0^{e^{-1}}dx/(x|\ln x|^p)$ y calcula su valor.
Calcula $\int_0^1x^a\ln x\,dx$ para $a>-1$ y prueba la convergencia del término de frontera.
Calcula $\int_0^1x^a\ln x\,dx$ para $a>-1$ y prueba la convergencia del término de frontera.