Ejercicios: Trabajo, masa, centro de masas y valor medio

Una fuerza $F(x)=3x^2\ \text{N}$ actúa en el sentido positivo sobre un objeto que se mueve de $x=0$ a $x=2\ \text{m}$. Calcula el trabajo; $x$ representa el valor numérico de la posición en metros.

Un muelle cumple la ley de Hooke con $k=200\ \text{N/m}$. Calcula el trabajo necesario para estirarlo desde su longitud natural hasta $0,1\ \text{m}$.

Una barra de $2\ \text{m}$ tiene densidad lineal $\lambda(x)=1+x$ en $\text{kg/m}$, con $x$ medido en metros desde un extremo. Calcula su masa.

Calcula el valor medio temporal de $T(t)=20+6t$ grados Celsius durante $0\le t\le2$ horas.

Un móvil tiene velocidad $v(t)=t-1\ \text{m/s}$ durante $0\le t\le3\ \text{s}$. Calcula desplazamiento y distancia recorrida.

Una corriente $I(t)=2e^{-t}\ \text{A}$ circula durante $0\le t\le\ln2\ \text{s}$. Calcula la carga transferida.

Una barra ocupa $0\le x\le2\ \text{m}$ y tiene densidad $\lambda(x)=1+x$ en $\text{kg/m}$. Calcula su centro de masas con $\bar x=\int x\lambda(x)dx/\int\lambda(x)dx$.

La figura ilustra los datos y relaciones del problema.

Un muelle necesita una fuerza de $15\ \text{N}$ para mantener un alargamiento de $0,05\ \text{m}$. Suponiendo ley de Hooke, calcula el trabajo para pasar de $0,02$ a $0,08\ \text{m}$ de alargamiento.

Una fuerza tangencial tiene valor $F(x)=10/(1+x)^2\ \text{N}$, con $x$ en metros. Calcula el trabajo desde $x=0$ hasta $x=3$ y el trabajo límite hasta infinito.

Una lámina homogénea ocupa $0\le x\le1$, $0\le y\le x^2$, en metros. Calcula su centroide usando $\bar x=\int x f(x)dx/A$ y $\bar y=\int f(x)^2dx/(2A)$.

Un depósito cilíndrico vertical de radio $1\ \text{m}$ y altura $3\ \text{m}$ está lleno de agua de densidad $1000\ \text{kg/m}^3$. Calcula el trabajo para bombear toda el agua hasta el borde superior, usando $g=9,8\ \text{m/s}^2$.

La figura ilustra los datos y relaciones del problema.

Calcula el valor eficaz de $I(t)=I_0\sin(\omega t)$ en un periodo, con $I_0>0$, $\omega>0$, usando $I_{\mathrm{ef}}=\sqrt{T^{-1}\int_0^TI(t)^2dt}$ y $T=2\pi/\omega$.

Una barra uniforme de masa $m$ y longitud $L$ ocupa $[0,L]$. Calcula $J=\int_0^Lx^2\lambda\,dx$, su momento de inercia respecto al extremo, donde $\lambda=m/L$.

En un intervalo de $4\ \text{s}$, un caudal vale $q(t)=3+\sin(\pi t/2)$ litros por segundo. Calcula el volumen entregado y el caudal medio.

Una barra de longitud $L>0$ tiene densidad $\lambda(x)=kx^p$ para $00$ y $p>-1$ en unidades coherentes. Calcula masa y centro de masas. ¿Qué ocurre con el centro cuando $p\to\infty$?

Un depósito cónico de altura $2\ \text{m}$ y radio superior $1\ \text{m}$, con vértice abajo, está lleno de agua. Calcula el trabajo para bombearla hasta el borde superior, con densidad $1000\ \text{kg/m}^3$ y $g=9,8\ \text{m/s}^2$.

La figura ilustra los datos y relaciones del problema.

Una lámina homogénea está limitada por $y=x$ y $y=x^2$ en $[0,1]$. Calcula su centroide usando $A=\int(g-f)$, $\bar x=A^{-1}\int x(g-f)$, $\bar y=(2A)^{-1}\int(g^2-f^2)$.

La fuerza gravitatoria para elevar una masa $m$ radialmente a distancia $r$ del centro de un planeta es $GMm/r^2$, con $G,M,m>0$. Calcula el trabajo de elevación desde radio $R>0$ a $R+h$ y su límite cuando $h\to\infty$.

Para una función continua real $v$ en $[0,T]$, $T>0$, demuestra $\frac1T\int_0^Tv^2\,dt\ge(\frac1T\int_0^Tv\,dt)^2$ integrando $(v-\bar v)^2$. Caracteriza cuándo hay igualdad.

Una placa vertical rectangular de anchura $2\ \text{m}$ ocupa profundidades de $1$ a $3\ \text{m}$ bajo agua. La presión es $p(h)=\rho gh$, con $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$ y $g=9,8\ \text{m/s}^2$. Calcula la fuerza hidrostática total y la profundidad de su centro de presión $h_c=\int h\,dF/\int dF$.

La figura ilustra los datos y relaciones del problema.