Ejercicios: Áreas cartesianas y polares
Calcula el área limitada por $y=x$, el eje horizontal y las rectas $x=0$, $x=2$.
Calcula el área limitada por $y=x$, el eje horizontal y las rectas $x=0$, $x=2$.
Halla el área entre $y=x^2$ y $y=2x$ y determina antes sus intersecciones. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Halla el área entre $y=x^2$ y $y=2x$ y determina antes sus intersecciones.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula el área geométrica entre $y=x-1$ y el eje horizontal para $0\le x\le3$. Compárala con la integral con signo.
Calcula el área geométrica entre $y=x-1$ y el eje horizontal para $0\le x\le3$. Compárala con la integral con signo.
Calcula el área comprendida bajo $y=\sqrt{4-x^2}$ para $-2\le x\le2$ e interpreta geométricamente la respuesta.
Calcula el área comprendida bajo $y=\sqrt{4-x^2}$ para $-2\le x\le2$ e interpreta geométricamente la respuesta.
Calcula el área entre $y=e^x$ y $y=1$ desde $x=0$ hasta $x=1$.
Calcula el área entre $y=e^x$ y $y=1$ desde $x=0$ hasta $x=1$.
Una región polar tiene radio $0\le r\le2$ y ángulo $0\le\theta\le\pi/3$. Usa $A=\frac12\int r(\theta)^2\,d\theta$ para hallar su área.
Una región polar tiene radio $0\le r\le2$ y ángulo $0\le\theta\le\pi/3$. Usa $A=\frac12\int r(\theta)^2\,d\theta$ para hallar su área.
Calcula el área entre $y=x^3$ y $y=x$ en $[-1,1]$, identificando dónde cambia la curva superior. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula el área entre $y=x^3$ y $y=x$ en $[-1,1]$, identificando dónde cambia la curva superior.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula el área encerrada por $x=y^2$ y $x=2-y$ integrando respecto de $y$.
Calcula el área encerrada por $x=y^2$ y $x=2-y$ integrando respecto de $y$.
Halla el área geométrica total entre $y=\sin x$ y el eje horizontal en $[0,2\pi]$.
Halla el área geométrica total entre $y=\sin x$ y el eje horizontal en $[0,2\pi]$.
Determina el área entre $y=\ln x$ y el eje horizontal desde $x=1/2$ hasta $x=2$.
Determina el área entre $y=\ln x$ y el eje horizontal desde $x=1/2$ hasta $x=2$.
Calcula el área encerrada por la curva polar $r=2\cos\theta$, con $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$. Usa la fórmula polar e identifica la figura.
Calcula el área encerrada por la curva polar $r=2\cos\theta$, con $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$. Usa la fórmula polar e identifica la figura.
Calcula el área encerrada por la cardioide $r=1+\cos\theta$, $0\le\theta\le2\pi$, usando la fórmula polar. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula el área encerrada por la cardioide $r=1+\cos\theta$, $0\le\theta\le2\pi$, usando la fórmula polar.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Determina el área de un pétalo de $r=2\sin(2\theta)$ usando el intervalo $0\le\theta\le\pi/2$.
Determina el área de un pétalo de $r=2\sin(2\theta)$ usando el intervalo $0\le\theta\le\pi/2$.
Para $a>0$, calcula el área encerrada por $y=a-x^2$ y el eje horizontal. Expresa cómo depende de $a$.
Para $a>0$, calcula el área encerrada por $y=a-x^2$ y el eje horizontal. Expresa cómo depende de $a$.
Encuentra $c\in(0,1)$ de modo que la recta vertical $x=c$ divida en dos áreas iguales la región bajo $y=x^2$ en $[0,1]$. Justifica unicidad.
Encuentra $c\in(0,1)$ de modo que la recta vertical $x=c$ divida en dos áreas iguales la región bajo $y=x^2$ en $[0,1]$. Justifica unicidad.
Calcula el área común a los círculos descritos en polares por $r\le2\cos\theta$ y $r\le2\sin\theta$ en el primer cuadrante. Determina dónde cambia la frontera radial. La…
Calcula el área común a los círculos descritos en polares por $r\le2\cos\theta$ y $r\le2\sin\theta$ en el primer cuadrante. Determina dónde cambia la frontera radial.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula el área interior a $r=2$ y exterior a $r=1+\cos\theta$. Justifica que una curva contiene a la otra radialmente.
Calcula el área interior a $r=2$ y exterior a $r=1+\cos\theta$. Justifica que una curva contiene a la otra radialmente.
Determina el área total de la región limitada por $y=x^2$ y $y=|x|$. Explica por qué una única resta sin separar signos puede fallar.
Determina el área total de la región limitada por $y=x^2$ y $y=|x|$. Explica por qué una única resta sin separar signos puede fallar.
Sea $a>0$. Calcula el área entre $y=e^{-ax}$ y $y=e^{-2ax}$ para $x\ge0$, justificando la convergencia aunque la región sea no acotada.
Sea $a>0$. Calcula el área entre $y=e^{-ax}$ y $y=e^{-2ax}$ para $x\ge0$, justificando la convergencia aunque la región sea no acotada.
Se define la región polar $0\le r\le\sqrt{\cos(2\theta)}$ para $-\pi/4\le\theta\le\pi/4$. Calcula su área y explica por qué no puedes prolongar esta misma descripción…
Se define la región polar $0\le r\le\sqrt{\cos(2\theta)}$ para $-\pi/4\le\theta\le\pi/4$. Calcula su área y explica por qué no puedes prolongar esta misma descripción real a todo $[0,2\pi]$.