Ejercicios: Teoremas de Rolle y del valor medio
Aplica Rolle a $f(x)=x^2-4x+3$ en $[1,3]$ y encuentra todos los puntos que garantiza. La figura muestra la secante que une los extremos del intervalo.
Aplica Rolle a $f(x)=x^2-4x+3$ en $[1,3]$ y encuentra todos los puntos que garantiza.
La figura muestra la secante que une los extremos del intervalo.
Aplica el teorema del valor medio a $f(x)=\sqrt x$ en $[1,4]$. La figura muestra la secante entre los extremos.
Aplica el teorema del valor medio a $f(x)=\sqrt x$ en $[1,4]$.
La figura muestra la secante entre los extremos.
Explica por qué Rolle no se aplica a $f(x)=|x|$ en $[-1,1]$, aunque coincidan los valores extremos.
Explica por qué Rolle no se aplica a $f(x)=|x|$ en $[-1,1]$, aunque coincidan los valores extremos.
Si $f$ es derivable en $[0,5]$, $f(0)=2$ y $|f'(x)|\le3$, acota $f(5)$.
Si $f$ es derivable en $[0,5]$, $f(0)=2$ y $|f'(x)|\le3$, acota $f(5)$.
Demuestra mediante el valor medio que $|\sen b-\sen a|\le|b-a|$ para todos $a,b\in\mathbb R$.
Demuestra mediante el valor medio que $|\sen b-\sen a|\le|b-a|$ para todos $a,b\in\mathbb R$.
Prueba que la ecuación $x^3+x-1=0$ tiene exactamente una solución real y localízala en un intervalo de longitud $1$.
Prueba que la ecuación $x^3+x-1=0$ tiene exactamente una solución real y localízala en un intervalo de longitud $1$.
Para $x>0$, demuestra $x/(1+x)<\ln(1+x)<x$ usando valor medio.
Para $x>0$, demuestra $x/(1+x)<\ln(1+x)
Un móvil tiene posición derivable y recorre de $s(0)=0$ m a $s(4)=12$ m. ¿Qué valor de velocidad debe alcanzar? ¿Puede afirmarse que su aceleración se anula? Justifica.…
Un móvil tiene posición derivable y recorre de $s(0)=0$ m a $s(4)=12$ m. ¿Qué valor de velocidad debe alcanzar? ¿Puede afirmarse que su aceleración se anula? Justifica.
La figura recoge únicamente los dos datos de posición conocidos.
Usa el teorema de Cauchy para $f(x)=\ln x$, $g(x)=x^2$ en $[1,2]$ y encuentra el punto $c$ que proporciona.
Usa el teorema de Cauchy para $f(x)=\ln x$, $g(x)=x^2$ en $[1,2]$ y encuentra el punto $c$ que proporciona.
Prueba que si $f'=g'$ en un intervalo y $f(a)=g(a)$ en un punto del intervalo, entonces $f=g$ en todo él. Explica por qué hace falta un intervalo.
Prueba que si $f'=g'$ en un intervalo y $f(a)=g(a)$ en un punto del intervalo, entonces $f=g$ en todo él. Explica por qué hace falta un intervalo.
Una función $f$ es continua en $[a,b]$, dos veces derivable en $(a,b)$ y tiene tres ceros distintos. Demuestra que $f''$ tiene al menos un cero en $(a,b)$.
Una función $f$ es continua en $[a,b]$, dos veces derivable en $(a,b)$ y tiene tres ceros distintos. Demuestra que $f''$ tiene al menos un cero en $(a,b)$.
Demuestra que $e^x=1+x+x^2/2$ tiene como única solución real $x=0$, sin usar series.
Demuestra que $e^x=1+x+x^2/2$ tiene como única solución real $x=0$, sin usar series.
Sea $f\in C^2([0,1])$ con $f(0)=f(1)=0$ y $|f''|\le2$. Demuestra $|f(x)|\le x(1-x)$ usando convexidad o Rolle generalizado.
Sea $f\in C^2([0,1])$ con $f(0)=f(1)=0$ y $|f''|\le2$. Demuestra $|f(x)|\le x(1-x)$ usando convexidad o Rolle generalizado.
Si $f\in C^1([0,1])$, $f(0)=0$, $f(1)=1$ y $\int_0^1 f(x)\,dx=1/2$, ¿es forzoso que $f'(c)=1$ en al menos dos puntos distintos? Demuestra la respuesta.
Si $f\in C^1([0,1])$, $f(0)=0$, $f(1)=1$ y $\int_0^1 f(x)\,dx=1/2$, ¿es forzoso que $f'(c)=1$ en al menos dos puntos distintos? Demuestra la respuesta.