Ejercicios: Regla de L’Hôpital y límites

Calcula $\lim_{x\to0}(e^x-1)/x$ con L’Hôpital y comprueba la forma indeterminada.

Calcula $\lim_{x\to\infty}\ln x/x$ justificando L’Hôpital.

Calcula $\lim_{x\to0}(1-\cos x)/x^2$.

La figura representa geométricamente el numerador para ángulos positivos pequeños.

Calcula $\lim_{x\to0^+}x\ln x$ transformándolo en cociente.

Para valores entre cero y uno, la figura representa el valor absoluto del producto como un área.

Calcula $\lim_{x\to0}(\tan x-x)/x^3$ con L’Hôpital.

La figura compara un arco de la circunferencia unidad con el segmento de tangente asociado.

Calcula $\lim_{x\to0^+}x^x$.

Calcula $\lim_{x\to\infty}(1+2/x)^x$.

Calcula $\lim_{x\to0}(1/x-1/\sen x)$.

Calcula $\lim_{x\to1}\ln x/(x-1)$ y explica por qué no se puede aplicar L’Hôpital directamente a $\ln x/(x+1)$ en el mismo punto.

Determina $a$ para que $\lim_{x\to0}(e^{ax}-1-2x)/x^2$ sea finito y calcula ese límite.

Calcula $\lim_{x\to0}(\ln(1+x)-x+x^2/2)/x^3$, indicando por qué bastan tres aplicaciones de L’Hôpital.

Calcula $\lim_{x\to0}(\cos x)^{1/x^2}$ usando logaritmos y L’Hôpital.

El cociente $(x+\sen x)/x$ tiene límite en $+\infty$. Calcúlalo y explica qué ocurre al intentar aplicar L’Hôpital.

Calcula $\lim_{x\to\infty}x[\ln(x+1)-\ln x]-1$ y, después, $\lim_{x\to\infty}x\{x[\ln(x+1)-\ln x]-1\}$.