Ejercicios: Definición de derivada y recta tangente

Calcula por definición la derivada de $f(x)=x^2-3x$ en $x=2$ y escribe la tangente.

La figura sitúa el punto de estudio sobre la curva.

Obtén mediante el cociente incremental la derivada de $f(x)=1/x$ en un punto $a\ne0$.

Para $f(x)=|x-1|$, calcula las derivadas laterales en $1$ y decide si hay tangente con pendiente finita.

Una partícula tiene posición $s(t)=t^2+2t$ metros para $t\ge0$. Compara la velocidad media entre $t=1$ y $t=1+h$ con la velocidad instantánea en $1$.

Estudia la derivabilidad en $0$ de $f(x)=x\sen(1/x)$ para $x\ne0$, con $f(0)=0$, usando la definición.

Sea $f(x)=x^2\sen(1/x)$ si $x\ne0$ y $f(0)=0$. Calcula $f'(0)$ y decide si $f'$ es continua en $0$.

Determina $a,b$ para que $f(x)=\begin{cases}ax+b,&x<1,\\x^2,&x\ge1\end{cases}$ sea derivable en $1$.

Encuentra todos los puntos de la parábola $y=x^2$ cuya tangente pasa por $(0,-4)$.

La figura muestra la parábola y el punto exterior.

La curva $y=\sqrt{x}$, $x\ge0$, llega al origen. Analiza su derivada derecha allí y explica si existe tangente vertical.

La figura muestra una secante desde el origen.

Para $f(x)=|x^2-1|$, localiza todos los puntos no derivables y calcula sus derivadas laterales.

Clasifica, según $\alpha>0$, la continuidad y derivabilidad en $0$ de $f_\alpha(x)=|x|^\alpha\sen(1/x)$, con $f_\alpha(0)=0$.

Busca todos los $a,b,c$ para que $f(x)=\begin{cases}e^x,&x\le0,\\ax^2+bx+c,&x>0\end{cases}$ tenga primera y segunda derivadas continuas en $0$.

Una función $f$ es derivable en $a$ y $f(a)=0$. Define $g(x)=|f(x)|$. Demuestra que $g$ es derivable en $a$ si y solo si $f'(a)=0$, y calcula entonces $g'(a)$.

Determina para qué $p>0$ la función $f(x)=x^p$ en $x>0$, extendida por cero para $x\le0$, es dos veces derivable en $0$.