Ejercicios: Bolzano, Weierstrass y bisección

Justifica que $x^3+x-1=0$ tiene alguna raíz en $(0,1)$ usando Bolzano.

¿Garantiza Weierstrass un máximo y un mínimo para $f(x)=1/x$ en $(0,1]$? Determina los extremos existentes.

Una magnitud continua pasa de $T(0)=12$ a $T(5)=27$. Justifica que toma el valor 20, e indica si estos datos permiten asegurar un único instante.

Realiza dos pasos de bisección para $f(x)=x^2-2$ desde $[1,2]$. Indica el intervalo final que contiene una raíz.

La figura ilustra los datos y relaciones del problema.

Demuestra que $\cos x=x$ tiene una raíz en $(0,1)$ y que es única en ese intervalo sin usar derivadas.

Para $f(x)=x^3-2$, parte de $[1,2]$. ¿Cuántas bisecciones bastan para que la longitud del intervalo sea como máximo $10^{-3}$? Si tomas su punto medio, ¿qué error máximo garantizas?

Da un ejemplo de función continua y acotada en un intervalo abierto que no alcance ni su supremo ni su ínfimo. Explica por qué no contradice Weierstrass.

Prueba que toda función continua $f:[0,1]\to[0,1]$ tiene un punto fijo.

La figura muestra un ejemplo; la demostración debe servir para cualquier función que cumpla las hipótesis.

Una función continua $f$ en $[a,b]$ nunca vale cero. Prueba que mantiene el mismo signo en todo el intervalo.

Para $f(x)=x^4-4x+1$, justifica la existencia de al menos dos raíces reales mediante intervalos disjuntos con extremos enteros.

Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continua y supón $f(x)\to+\infty$ cuando $x\to\pm\infty$. Demuestra que alcanza un mínimo global.

Demuestra que si $f$ es continua y estrictamente creciente en $[a,b]$, entonces su inversa en $[f(a),f(b)]$ es continua. Puedes razonar con imágenes de puntos a ambos lados.

Una función continua $f:[0,2]\to\mathbb R$ cumple $f(0)=f(2)$. Demuestra que existe $c\in[0,1]$ con $f(c)=f(c+1)$.

Sean $f,g$ continuas en $[0,1]$ y $f(x)0$ tal que $g(x)-f(x)\geq\eta$ en todo el intervalo. Muestra que podría fallar en $(0,1)$.