Ejercicios: Discontinuidades y parámetros
Clasifica la discontinuidad en $2$ de $f(x)=(x^2-4)/(x-2)$ y prolonga la función para hacerla continua.
Clasifica la discontinuidad en $2$ de $f(x)=(x^2-4)/(x-2)$ y prolonga la función para hacerla continua.
Estudia la continuidad en $0$ de $f(x)=x+1$ si $x<0$ y $f(x)=x^2$ si $x\geq0$. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Estudia la continuidad en $0$ de $f(x)=x+1$ si $x<0$ y $f(x)=x^2$ si $x\geq0$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Determina $a$ para que $f(x)=\sin x/x$ si $x\neq0$ y $f(0)=a$ sea continua.
Determina $a$ para que $f(x)=\sin x/x$ si $x\neq0$ y $f(0)=a$ sea continua.
Indica el conjunto de continuidad de $f(x)=\ln(x^2-1)$ como función real y justifica la respuesta mediante composición.
Indica el conjunto de continuidad de $f(x)=\ln(x^2-1)$ como función real y justifica la respuesta mediante composición.
¿Puede asignarse un valor a $f(0)$ para hacer continua $f(x)=1/x^2$? Justifica.
¿Puede asignarse un valor a $f(0)$ para hacer continua $f(x)=1/x^2$? Justifica.
Estudia la continuidad de $f(x)=|x-2|$ en $2$ sin recurrir a derivadas.
Estudia la continuidad de $f(x)=|x-2|$ en $2$ sin recurrir a derivadas.
Determina $a,b$ para que $f(x)=x^2$ si $x\leq1$, $ax+b$ si $1<x<3$, y $2x+1$ si $x\geq3$ sea continua en todo $\mathbb R$.
Determina $a,b$ para que $f(x)=x^2$ si $x\leq1$, $ax+b$ si $1
Estudia la continuidad en $0$ de $f(x)=x\sin(1/x)$ si $x\neq0$, $f(0)=0$.
Estudia la continuidad en $0$ de $f(x)=x\sin(1/x)$ si $x\neq0$, $f(0)=0$.
Sea $f(x)=\lfloor x\rfloor$, donde $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero no superior a $x$. Localiza y clasifica todas sus discontinuidades.
Sea $f(x)=\lfloor x\rfloor$, donde $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero no superior a $x$. Localiza y clasifica todas sus discontinuidades.
Para $a>0$, estudia la continuidad en $0$ de $f_a(x)=|x|^a\cos(1/x)$ para $x\neq0$ y $f_a(0)=0$. Explica qué ocurre si $a=0$.
Para $a>0$, estudia la continuidad en $0$ de $f_a(x)=|x|^a\cos(1/x)$ para $x\neq0$ y $f_a(0)=0$. Explica qué ocurre si $a=0$.
Encuentra $a$ para que $f(x)=\frac{e^{ax}-1}{x}$, $x\neq0$, admita una prolongación continua con valor 3 en cero.
Encuentra $a$ para que $f(x)=\frac{e^{ax}-1}{x}$, $x\neq0$, admita una prolongación continua con valor 3 en cero.
Prueba que el producto de una función continua que se anula en $a$ y una función acotada cerca de $a$ tiene límite cero, aunque la segunda no sea continua.
Prueba que el producto de una función continua que se anula en $a$ y una función acotada cerca de $a$ tiene límite cero, aunque la segunda no sea continua.
Estudia si puede prolongarse continuamente $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$ en $1$. Si no, explica qué condiciones de continuidad fallan.
Estudia si puede prolongarse continuamente $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$ en $1$. Si no, explica qué condiciones de continuidad fallan.
Un modelo de fuerza usa $F(t)=kt$ para $0\leq t\leq2$ y $F(t)=12e^{-(t-2)}$ para $t>2$, en newtons y segundos. Elige $k$ para evitar un salto de fuerza e indica sus…
Un modelo de fuerza usa $F(t)=kt$ para $0\leq t\leq2$ y $F(t)=12e^{-(t-2)}$ para $t>2$, en newtons y segundos. Elige $k$ para evitar un salto de fuerza e indica sus unidades.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Sea $f(x)=x$ para $x\in\mathbb Q$ y $f(x)=-x$ para $x\notin\mathbb Q$. Determina todos sus puntos de continuidad. Puedes usar la densidad de racionales e irracionales.
Sea $f(x)=x$ para $x\in\mathbb Q$ y $f(x)=-x$ para $x\notin\mathbb Q$. Determina todos sus puntos de continuidad. Puedes usar la densidad de racionales e irracionales.
Sean $f,g$ continuas. Demuestra que $\max(f,g)$ y $\min(f,g)$ son continuas sin usar derivadas.
Sean $f,g$ continuas. Demuestra que $\max(f,g)$ y $\min(f,g)$ son continuas sin usar derivadas.
Para $p\in\mathbb R$, estudia cuándo $f_p(x)=x^p\sin(1/x)$ en $x>0$ admite prolongación continua a $0$.
Para $p\in\mathbb R$, estudia cuándo $f_p(x)=x^p\sin(1/x)$ en $x>0$ admite prolongación continua a $0$.
Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continua en $0$, con $f(x+y)=f(x)+f(y)$ y $f(1)=2$. Demuestra que $f(x)=2x$ para todo real.
Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continua en $0$, con $f(x+y)=f(x)+f(y)$ y $f(1)=2$. Demuestra que $f(x)=2x$ para todo real.
Para $a,b\in\mathbb R$, estudia si $f(x)=\frac{\sqrt{1+ax}-1}{x}$ para $x\neq0$ suficientemente próximo a cero puede prolongarse con $f(0)=b$.
Para $a,b\in\mathbb R$, estudia si $f(x)=\frac{\sqrt{1+ax}-1}{x}$ para $x\neq0$ suficientemente próximo a cero puede prolongarse con $f(0)=b$.
Sea $f$ continua en $a$ y $f(a)\neq0$. Demuestra que $1/f$ está definida y es continua en algún entorno de $a$, dando una cota que evite dividir por cero.
Sea $f$ continua en $a$ y $f(a)\neq0$. Demuestra que $1/f$ está definida y es continua en algún entorno de $a$, dando una cota que evite dividir por cero.