Ejercicios: Optimización geométrica y física
Un rectángulo tiene perímetro $20$ m. Determina sus dimensiones de área máxima y justifica que el máximo es global.
Un rectángulo tiene perímetro $20$ m. Determina sus dimensiones de área máxima y justifica que el máximo es global.
Se cerca un recinto rectangular junto a una pared recta, usando $60$ m de valla para los otros tres lados. Halla las dimensiones de área máxima. La figura muestra los…
Se cerca un recinto rectangular junto a una pared recta, usando $60$ m de valla para los otros tres lados. Halla las dimensiones de área máxima.
La figura muestra los tres lados que requieren valla.
Para $t\ge0$, la potencia de un dispositivo se modela como $P(t)=t e^{-t}$ W, con $t$ en segundos. Determina cuándo es máxima.
Para $t\ge0$, la potencia de un dispositivo se modela como $P(t)=t e^{-t}$ W, con $t$ en segundos. Determina cuándo es máxima.
Encuentra el punto de la recta $y=2x+1$ más cercano al origen.
Encuentra el punto de la recta $y=2x+1$ más cercano al origen.
Dos números reales positivos suman $12$. Maximiza su producto y explica el comportamiento en los extremos del dominio.
Dos números reales positivos suman $12$. Maximiza su producto y explica el comportamiento en los extremos del dominio.
Un proyectil se lanza desde el suelo con rapidez fija $v_0$, sin rozamiento. Su alcance es $R(\theta)=v_0^2\sen(2\theta)/g$, $0<\theta<\pi/2$. Determina el ángulo óptimo.
Un proyectil se lanza desde el suelo con rapidez fija $v_0$, sin rozamiento. Su alcance es $R(\theta)=v_0^2\sen(2\theta)/g$, $0<\theta<\pi/2$. Determina el ángulo óptimo.
De una lámina cuadrada de lado $12$ cm se cortan cuadrados de lado $x$ en las esquinas para formar una caja abierta. Maximiza el volumen. La figura muestra los recortes…
De una lámina cuadrada de lado $12$ cm se cortan cuadrados de lado $x$ en las esquinas para formar una caja abierta. Maximiza el volumen.
La figura muestra los recortes y los pliegues de la caja.
Un cilindro cerrado debe contener $2\pi$ m³. Encuentra radio y altura que minimicen su superficie total.
Un cilindro cerrado debe contener $2\pi$ m³. Encuentra radio y altura que minimicen su superficie total.
Un cilindro sin tapa debe tener volumen $V>0$. Encuentra la relación entre altura y radio que minimiza el material.
Un cilindro sin tapa debe tener volumen $V>0$. Encuentra la relación entre altura y radio que minimiza el material.
Una escalera rígida de $10$ m tiene extremos sobre un suelo y una pared perpendiculares. ¿Para qué posición es máxima el área del triángulo que delimita?
Una escalera rígida de $10$ m tiene extremos sobre un suelo y una pared perpendiculares. ¿Para qué posición es máxima el área del triángulo que delimita?
Una resistencia de carga $R>0$ conectada a una fuente de tensión $E>0$ y resistencia interna $r>0$ recibe potencia $P(R)=E^2R/(R+r)^2$. Halla la carga óptima.
Una resistencia de carga $R>0$ conectada a una fuente de tensión $E>0$ y resistencia interna $r>0$ recibe potencia $P(R)=E^2R/(R+r)^2$. Halla la carga óptima.
Una página debe contener $96$ cm² de texto, con márgenes laterales de $2$ cm y superior e inferior de $3$ cm. Minimiza el área de papel.
Una página debe contener $96$ cm² de texto, con márgenes laterales de $2$ cm y superior e inferior de $3$ cm. Minimiza el área de papel.
Un depósito cónico invertido debe tener generatriz fija $L>0$. Determina su altura para que el volumen sea máximo.
Un depósito cónico invertido debe tener generatriz fija $L>0$. Determina su altura para que el volumen sea máximo.
Un trayecto de $100$ km se recorre a rapidez constante $v>0$ km/h. El coste total, en euros, es $C(v)=100(0,01v^2+400/v)$. Halla la velocidad de coste mínimo sin…
Un trayecto de $100$ km se recorre a rapidez constante $v>0$ km/h. El coste total, en euros, es $C(v)=100(0,01v^2+400/v)$. Halla la velocidad de coste mínimo sin restricciones adicionales.
Una persona está a $3$ km de una costa recta y desea llegar a un punto situado $6$ km costa adelante desde la perpendicular. Rema a $3$ km/h y camina a $5$ km/h. Puede…
Una persona está a $3$ km de una costa recta y desea llegar a un punto situado $6$ km costa adelante desde la perpendicular. Rema a $3$ km/h y camina a $5$ km/h. Puede desembarcar en cualquier punto de ese tramo. Encuentra el punto que minimiza el tiempo.
La figura define el punto de desembarco y los dos tramos del viaje.
Una tubería debe conectar puntos a distancias perpendiculares $a,b>0$ de una interfaz recta, en lados opuestos, con proyecciones separadas $d>0$. El coste por metro es…
Una tubería debe conectar puntos a distancias perpendiculares $a,b>0$ de una interfaz recta, en lados opuestos, con proyecciones separadas $d>0$. El coste por metro es $c_1,c_2>0$. Si cruza la interfaz a distancia $x\in[0,d]$ de la primera proyección, demuestra unicidad del mínimo y obtiene su ecuación.
Se inscribe un cilindro circular recto en una esfera de radio $R>0$, con eje pasando por el centro. Determina el volumen máximo y las dimensiones.
Se inscribe un cilindro circular recto en una esfera de radio $R>0$, con eje pasando por el centro. Determina el volumen máximo y las dimensiones.
En el primer cuadrante, una recta pasa por $(a,b)$ con $a,b>0$ y corta ambos semiejes positivos. Minimiza el área del triángulo formado con los ejes.
En el primer cuadrante, una recta pasa por $(a,b)$ con $a,b>0$ y corta ambos semiejes positivos. Minimiza el área del triángulo formado con los ejes.
La intensidad luminosa sobre un punto de un plano horizontal debida a una fuente a altura $h>0$ y desplazamiento horizontal fijo $d>0$ es proporcional a…
La intensidad luminosa sobre un punto de un plano horizontal debida a una fuente a altura $h>0$ y desplazamiento horizontal fijo $d>0$ es proporcional a $h/(h^2+d^2)^{3/2}$. Optimiza la altura y demuestra que el óptimo es global.
Un cable de longitud $L>0$ se divide en dos partes: una forma un círculo y otra un cuadrado. Determina la división que minimiza la suma de áreas. Compara con el supremo…
Un cable de longitud $L>0$ se divide en dos partes: una forma un círculo y otra un cuadrado. Determina la división que minimiza la suma de áreas. Compara con el supremo del área si ambas partes han de ser positivas.