Calculer une longueur ou un angle avec le cosinus
Une échelle de 13 m est posée contre un mur, son pied à 5 m de celui-ci. Quel angle fait-elle avec le sol ? Pour le savoir, on ne peut pas se contenter de Pythagore : il faut relier les longueurs aux angles. C'est le rôle du cosinus.
Le cosinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, on choisit un angle aigu. Le côté le plus long, en face de l'angle droit, est l'hypoténuse. Le côté adjacent à l'angle est le côté de l'angle droit qui touche cet angle.
Pourquoi ce quotient ne dépend-il pas de la taille du triangle ? Si on agrandit le triangle d'un coefficient $k$, toutes les longueurs sont multipliées par $k$, donc le quotient ne change pas : il ne dépend que de l'angle. Le cosinus est toujours compris entre $0$ et $1$, car le côté adjacent est plus court que l'hypoténuse.
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 10\text{ cm}$. Écrire le rapport qui donne $\cos(\widehat{ABC})$, puis calculer sa valeur sous…
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 10\text{ cm}$.
Écrire le rapport qui donne $\cos(\widehat{ABC})$, puis calculer sa valeur sous forme de fraction irréductible.
Calculer un angle
Si on connaît le côté adjacent et l'hypoténuse, on connaît le cosinus de l'angle. Pour retrouver l'angle, on utilise la touche $\cos^{-1}$ (ou « arccos ») de la calculatrice, souvent obtenue avec la touche « seconde ». Vérifie que ta calculatrice est en mode degrés.
Reprenons l'échelle du début : l'échelle (13 m) est l'hypoténuse, la distance au mur (5 m) est le côté adjacent à l'angle avec le sol. Donc $\cos(\alpha) = \dfrac{5}{13}$, d'où $\alpha = \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{13}\right) \approx 67^\circ$.
Dans le triangle $DEF$ rectangle en $D$, on a $DE = 4\text{ cm}$, $EF = 8\text{ cm}$. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{DEF}$.
Dans le triangle $DEF$ rectangle en $D$, on a $DE = 4\text{ cm}$, $EF = 8\text{ cm}$.
Calculer la mesure de l'angle $\widehat{DEF}$.
Une échelle de $13\text{ m}$ est appuyée contre le mur d'un immeuble à Lyon. Son pied est posé sur le sol horizontal à $5\text{ m}$ du mur. a) Calculer l'angle que forme…
Une échelle de $13\text{ m}$ est appuyée contre le mur d'un immeuble à Lyon. Son pied est posé sur le sol horizontal à $5\text{ m}$ du mur.
- a) Calculer l'angle que forme l'échelle avec le sol, arrondi au degré.
- b) Les consignes de sécurité demandent un angle compris entre $65^\circ$ et $75^\circ$. L'échelle respecte-t-elle cette consigne ?
Calculer une longueur
Si on connaît un angle aigu et une longueur, on écrit l'égalité avec le cosinus et on en déduit l'autre longueur.
Dans le triangle $KLM$ rectangle en $K$, on a $\widehat{KLM} = 60^\circ$ et $LM = 12\text{ cm}$. Calculer la longueur $KL$.
Dans le triangle $KLM$ rectangle en $K$, on a $\widehat{KLM} = 60^\circ$ et $LM = 12\text{ cm}$.
Calculer la longueur $KL$.
Une rampe d'accès à une médiathèque de Nantes forme un angle de $6^\circ$ avec le sol horizontal. Sa longueur est de $8\text{ m}$. a) Calculer la longueur horizontale…
Une rampe d'accès à une médiathèque de Nantes forme un angle de $6^\circ$ avec le sol horizontal. Sa longueur est de $8\text{ m}$.
- a) Calculer la longueur horizontale couverte par la rampe, arrondie au centimètre.
- b) Un cycliste parcourt la rampe en entier. Quelle distance horizontale a-t-il parcourue ?
Un câble de $25\text{ m}$ est tendu entre le sommet d'un poteau vertical et un piquet planté dans le sol horizontal. Le câble forme un angle de $52^\circ$ avec le sol.…
Un câble de $25\text{ m}$ est tendu entre le sommet d'un poteau vertical et un piquet planté dans le sol horizontal. Le câble forme un angle de $52^\circ$ avec le sol.
- a) Calculer la distance entre le pied du poteau et le piquet, arrondie au décimètre.
- b) Le piquet est déplacé pour que le câble forme un angle de $40^\circ$ avec le sol, la longueur du câble restant la même. Calculer la nouvelle distance entre le pied du poteau et le piquet, arrondie au décimètre.
Cosinus et figures : trouver le triangle rectangle
Souvent, le triangle rectangle est caché dans une figure. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet coupe la base en son milieu et forme deux triangles rectangles. Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
Quand on connaît le cosinus d'un angle et une longueur, on peut aussi retrouver les autres côtés avec Pythagore. Si $\cos(\widehat{BAC}) = 0{,}6$ et $AC = 15\text{ cm}$ (triangle rectangle en $B$), alors $AB = 0{,}6 \times 15 = 9\text{ cm}$ ; Pythagore donne ensuite $BC$.
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, on a $AC = 15\text{ cm}$ et $\cos(\widehat{BAC}) = 0{,}6$. a) Calculer $AB$. b) En utilisant le théorème de Pythagore, calculer…
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, on a $AC = 15\text{ cm}$ et $\cos(\widehat{BAC}) = 0{,}6$.
- a) Calculer $AB$.
- b) En utilisant le théorème de Pythagore, calculer $BC$.
- c) Calculer $\cos(\widehat{BCA})$ et montrer que $\cos(\widehat{BCA}) \neq \cos(\widehat{BAC})$.
Un toit symétrique a la forme d'un triangle isocèle $ABC$ de sommet $A$, avec $AB = AC = 6{,}5\text{ m}$ et une base $BC = 10\text{ m}$. Soit $H$ le milieu de $BC$. a)…
Un toit symétrique a la forme d'un triangle isocèle $ABC$ de sommet $A$, avec $AB = AC = 6{,}5\text{ m}$ et une base $BC = 10\text{ m}$. Soit $H$ le milieu de $BC$.
- a) Justifier que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$.
- b) Calculer l'angle $\widehat{ABC}$ à l'aide du cosinus, arrondi au dixième de degré.
- c) Calculer la hauteur $AH$ du toit, arrondie au centimètre.
Dans un losange $ABCD$ de côté $8\text{ cm}$, la diagonale $AC$ mesure $12\text{ cm}$. Les diagonales se coupent en $O$. a) Justifier que le triangle $AOB$ est rectangle…
Dans un losange $ABCD$ de côté $8\text{ cm}$, la diagonale $AC$ mesure $12\text{ cm}$. Les diagonales se coupent en $O$.
- a) Justifier que le triangle $AOB$ est rectangle en $O$.
- b) Calculer l'angle $\widehat{OAB}$, arrondi au degré.
- c) En déduire, en utilisant la valeur non arrondie de $\widehat{OAB}$, les mesures des quatre angles du losange, arrondies au degré.
L'essentiel
Vers le début : l'échelle de 13 m, pied à 5 m du mur, forme avec le sol un angle d'environ $67^\circ$.