Événements contraires et issues non équiprobables
Le TGV Paris–Bordeaux arrive à l'heure 85 fois sur 100. Quelle est la chance qu'il soit en retard ? Et comment calculer des probabilités quand toutes les issues n'ont pas la même chance, comme sur une roue de loterie dont les secteurs sont inégaux ?
Vocabulaire et probabilité d'un événement
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît toutes les issues possibles sans savoir laquelle va se produire. Lancer un dé, tirer une boule dans un sac, faire tourner une roue en sont des exemples.
Une issue est un résultat possible. Un événement est un ensemble d'issues (par exemple « obtenir un multiple de 3 »).
Si toutes les issues ont la même chance (situation d'équiprobabilité, comme avec un dé équilibré), alors :
$$P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre d'issues possibles}}$$On lance un dé équilibré à six faces. Soit $A$ l'événement « obtenir un multiple de 3 ». a) Calculer $P(A)$. b) Décrire l'événement contraire $\overline{A}$ et calculer…
On lance un dé équilibré à six faces. Soit $A$ l'événement « obtenir un multiple de 3 ».
- a) Calculer $P(A)$.
- b) Décrire l'événement contraire $\overline{A}$ et calculer $P(\overline{A})$.
Événement contraire
L'événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$, est l'événement qui se réalise exactement quand $A$ ne se réalise pas.
Pour un dé : si $A$ est « obtenir un multiple de 3 » (issues $3$ et $6$), alors $\overline{A}$ est « ne pas obtenir un multiple de 3 » (issues $1, 2, 4, 5$).
Toute issue est soit dans $A$, soit dans $\overline{A}$, jamais dans les deux. Les probabilités s'additionnent donc pour faire $1$.
Cette formule est très utile quand il est plus simple de calculer la probabilité de « ne pas… ».
La probabilité qu'un train Paris–Bordeaux arrive à l'heure est $0{,}85$. Calculer la probabilité qu'il n'arrive pas à l'heure.
La probabilité qu'un train Paris–Bordeaux arrive à l'heure est $0{,}85$.
Calculer la probabilité qu'il n'arrive pas à l'heure.
Un sac contient 5 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules jaunes. On tire une boule au hasard. a) Calculer la probabilité de tirer une boule verte. b) Calculer la…
Un sac contient 5 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules jaunes. On tire une boule au hasard.
- a) Calculer la probabilité de tirer une boule verte.
- b) Calculer la probabilité de ne pas tirer une boule rouge.
Issues non équiprobables
Sur une roue de loterie dont les secteurs n'ont pas la même taille, ou avec un dé truqué, toutes les issues n'ont pas la même chance. On ne peut plus compter les issues : la probabilité de chaque issue est donnée (ou calculée avec les aires des secteurs).
Quand une probabilité est donnée en fonction d'une inconnue, on écrit que la somme vaut $1$ et on résout une équation. Par exemple, si $P(A) = x$ et $P(B) = 3x$ sont les deux seules issues, alors $x + 3x = 1$, donc $4x = 1$ et $x = 0{,}25$.
On peut aussi estimer un nombre de réalisations : sur $n$ répétitions, on s'attend à environ $n \times P(A)$ fois l'événement $A$. Par exemple, avec $P(\text{rouge}) = 0{,}5$, sur $200$ tours on attend environ $200 \times 0{,}5 = 100$ fois rouge.
Une roue de loterie a trois secteurs : rouge, bleu, vert. On donne $P(\text{rouge}) = 0{,}5$ et $P(\text{bleu}) = 0{,}3$. Calculer $P(\text{vert})$.
Une roue de loterie a trois secteurs : rouge, bleu, vert. On donne $P(\text{rouge}) = 0{,}5$ et $P(\text{bleu}) = 0{,}3$.
Calculer $P(\text{vert})$.
Un dé truqué à quatre faces numérotées $1, 2, 3, 4$ a pour probabilités $P(1) = 0{,}1$, $P(2) = 0{,}2$, $P(3) = 0{,}3$. a) Calculer $P(4)$. b) Calculer la probabilité…
Un dé truqué à quatre faces numérotées $1, 2, 3, 4$ a pour probabilités $P(1) = 0{,}1$, $P(2) = 0{,}2$, $P(3) = 0{,}3$.
- a) Calculer $P(4)$.
- b) Calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair.
- c) Ce dé est-il équilibré ? Justifier.
À la cantine d'un collège de Lille, la probabilité qu'un élève choisisse le plat végétarien est $0{,}35$ et celle qu'il choisisse le poisson est $0{,}25$. Les autres…
À la cantine d'un collège de Lille, la probabilité qu'un élève choisisse le plat végétarien est $0{,}35$ et celle qu'il choisisse le poisson est $0{,}25$. Les autres choisissent la viande.
- a) Calculer la probabilité qu'un élève choisisse la viande.
- b) Sur 400 élèves, estimer combien ne prennent pas de viande.
Problèmes à étapes
Pour les problèmes plus longs, voici une méthode.
Lancer deux dés donne $36$ issues équiprobables (couples), mais les sommes ne le sont pas : il n'y a qu'une façon d'obtenir $2$ (avec $1 + 1$), et plusieurs façons d'obtenir $7$.
| 1er dé \ 2e dé | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
La somme $7$ apparaît $6$ fois : $P(7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$. La somme $2$ apparaît une seule fois : $P(2) = \dfrac{1}{36}$. Les sommes ne sont donc pas équiprobables.
Une urne contient des boules rouges et bleues. La probabilité de tirer une boule rouge est $\dfrac{2}{5}$. Il y a $18$ boules bleues. a) Calculer la probabilité de tirer…
Une urne contient des boules rouges et bleues. La probabilité de tirer une boule rouge est $\dfrac{2}{5}$. Il y a $18$ boules bleues.
- a) Calculer la probabilité de tirer une boule bleue.
- b) Calculer le nombre total de boules, puis le nombre de boules rouges.
- c) On ajoute $x$ boules rouges pour que la probabilité de tirer une rouge devienne $\dfrac{1}{2}$. Calculer $x$.
Une roue est divisée en quatre secteurs $A, B, C, D$. On sait que $P(A) = x$, $P(B) = 2x$, $P(C) = 3x$ et $P(D) = 4x$. a) Déterminer $x$. b) Calculer la probabilité de…
Une roue est divisée en quatre secteurs $A, B, C, D$. On sait que $P(A) = x$, $P(B) = 2x$, $P(C) = 3x$ et $P(D) = 4x$.
- a) Déterminer $x$.
- b) Calculer la probabilité de l'événement « ne pas obtenir $D$ ».
- c) Calculer la probabilité de « obtenir $A$ ou $C$ ».
- d) On fait tourner la roue 200 fois. Estimer le nombre de fois où $B$ sortira.
On lance deux dés équilibrés à six faces et on calcule la somme. a) Dresser le tableau des 36 issues équiprobables et donner le nombre d'issues pour chaque somme de $2$…
On lance deux dés équilibrés à six faces et on calcule la somme.
- a) Dresser le tableau des 36 issues équiprobables et donner le nombre d'issues pour chaque somme de $2$ à $12$.
- b) Calculer la probabilité d'obtenir une somme égale à $7$.
- c) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : $A$ « la somme est différente de $7$ » ; $B$ « la somme est supérieure ou égale à $10$ ».
- d) Les sommes sont-elles équiprobables ? Justifier.
Retour au début : si le TGV arrive à l'heure avec la probabilité $0{,}85$, il est en retard avec la probabilité $1 - 0{,}85 = 0{,}15$, soit $15\ \%$.