Expressions littérales

Recopier et compléter le tableau suivant dans votre cahier pour identifier les éléments fondamentaux de ces monômes :

Analyser le polynôme suivant et répondre aux questions :

$P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 8$

1. a) Quel est le degré du polynôme ?
2. b) Comment s'appelle le terme qui ne contient pas de variable (le $-8$) ?
3. c) Combien de termes comporte-t-il ? Selon le nombre de termes, est-ce un monôme, un binôme ou un trinôme ?
4. d) Quel est le coefficient du terme de plus haut degré ?

Pour pouvoir additionner ou soustraire des monômes, ceux-ci doivent être semblables. Parmi la liste suivante, sélectionner ceux qui sont semblables au monôme $5x^2y$ :

• $5xy^2$

• $-x^2y$

• $2x^2$

• $\frac{1}{2}x^2y$

• $5x^2y^2$

Pour les polynômes suivants, calculer la somme $A(x) + B(x)$ et réduire les termes semblables :

$A(x) = 4x^2 - 5x + 3$

$B(x) = x^2 + 2x - 7$

Un livreur de pizzas touche un salaire fixe de $15$ euros par soirée de travail, plus un supplément de $3$ euros par commande livrée à domicile. L'expression qui donne son gain est $G = 15 + 3x$, où $x$ est le nombre de commandes.

Calculer la valeur numérique de son gain (ce qu'il touchera au total) s'il livre $8$ commandes un soir.

Marc doit calculer la valeur numérique du polynôme $P(x) = 3x^2 - 4x + 5$ pour $x = -2$. Dans son cahier, il écrit la résolution suivante :

À la fin, Marc ajoute : « De plus, c'est un polynôme incomplet car il n'a pas de terme en $x^3$ ».

1. a) Repérer et expliquer en détail les deux erreurs commises par Marc (une erreur de calcul sur les puissances ou les signes et une erreur conceptuelle dans la classification du polynôme).
2. b) Effectuer le calcul correct pour déterminer $P(-2)$ et classer le polynôme en indiquant son degré, s'il est complet ou incomplet, son coefficient dominant et son terme constant.

On considère le polynôme suivant :

$P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$

Indiquer en justifiant les éléments suivants :

1. a) Le degré du polynôme.
2. b) Le coefficient du terme de degré 2.
3. c) Le terme constant.
4. d) La valeur numérique de $P(x)$ pour $x = -1$.

Concevoir un polynôme $P(x)$ qui vérifie simultanément les quatre conditions suivantes :

1. Son degré est $3$.

2. C'est un polynôme incomplet et il ne contient pas de terme de degré $1$.

3. Son coefficient dominant est $-2$.

4. Son terme constant est $16$.

Une fois votre polynôme écrit :

1. a) Vérifier si le nombre $x = 2$ est une racine de votre polynôme en calculant sa valeur numérique $P(2)$ et en justifiant votre conclusion à partir de la définition d'une racine.
2. b) Sans effectuer de longues substitutions numériques, expliquer pourquoi il est impossible que le nombre $x = 0$ soit une racine de ce polynôme en vous appuyant sur la valeur de son terme constant.

Étant donné le polynôme $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 6$, déterminer la valeur du coefficient $k$ sachant que la valeur du polynôme pour $x = 2$ est égale à zéro ($x = 2$ est une racine du polynôme). Une fois $k$ trouvé, calculer la valeur de $P(x)$ pour $x = -1$.

Dans le monde des jeux vidéo, le système de score d'un nouveau jeu de plateformes fonctionne ainsi : pour chaque pièce d'or ramassée, vous recevez un nombre de points inconnu $x$, mais pour chaque ennemi vaincu, vous recevez le triple de points d'une pièce. À la fin du niveau, on vous donne toujours un bonus fixe de $50$ points d'expérience.

Écrire l'expression littérale qui représente le score total d'un joueur ayant obtenu $12$ pièces et vaincu $4$ ennemis.

On lance une petite fusée à eau depuis une plateforme. La hauteur $h$ (en mètres) à laquelle se trouve la fusée en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par le polynôme :

$h(t) = -5t^2 + 25t + 2$

1. a) À quelle hauteur se trouve la plateforme de lancement ? (Indice : calculer $h(0)$.)
2. b) À quelle hauteur sera la fusée 2 secondes après son lancement ?
3. c) La fusée sera-t-elle plus haut à 3 secondes ou à 4 secondes ? Justifier la réponse en calculant les valeurs numériques correspondantes.

Dans un magasin d'électronique, le prix d'un smartphone de milieu de gamme est de $x$ euros. Un smartphone haut de gamme coûte le double du smartphone de milieu de gamme plus 150 €, et une tablette coûte 80 € de moins que le smartphone de milieu de gamme.

1. a) Écrire l'expression littérale qui représente le coût total de l'achat de deux smartphones de milieu de gamme, d'un smartphone haut de gamme et de trois tablettes.
2. b) Réduire l'expression obtenue pour que ce soit un polynôme sous sa forme la plus simple.
3. c) Si le prix du smartphone de base est de $x = 200$ €, combien coûtera la commande totale ?

Effectuer les opérations suivantes avec des polynômes et réduire le résultat final :

1. a) $(4x^3 - 5x^2 + x - 7) + (x^3 + 2x^2 - 10)$
2. b) $(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 4x - 5)$
3. c) $2 \cdot (x^3 - 3x + 1) + 4 \cdot (x^2 - 2)$

Mettre en facteur est l'opération inverse de la distributivité. Utiliser cette technique pour simplifier les expressions littérales suivantes :

1. a) $12x^5 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $5a^2b - 15ab^2 + 10ab$
3. c) $\frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{3}x^2$

Mettre en facteur et utiliser les identités remarquables pour factoriser les polynômes suivants.

Rappel des identités remarquables : $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ et $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.

1. a) $Q(x) = 3x^3 - 12x$

1. b) $R(x) = x^4 - 10x^3 + 25x^2$

1. c) $S(x) = 2x^2 + 20x + 50$